Cho hàm đa thức $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y={f}'\left( x...

Đặt $g\left( x \right)=h\left( \left| x-1 \right| \right)=f\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right)$.
Do đồ thị hàm số $y=h\left( \left| x-1 \right| \right)$ có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số $y=h\left( \left| x \right| \right)$ sang phải một đơn vị nên số cực trị của hàm số $y=h\left( \left| x-1 \right| \right)$ bằng số cực trị hàm $y=h\left( \left| x \right| \right).$ Như vậy, để hàm số $g\left( x \right)$ có $9$ cực trị thì hàm số $y=h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right)$ có 4 cực trị có hoành độ dương.
Lại có: ${y}'=\left( 2x-2 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right).$ Cho ${y}'=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right)=0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\left( * \right)\Rightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m-1=1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m-1=2 \\
& {{x}^{2}}-2x+m-1=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x-1=1-m \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x-1=2-m \left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x-1=3-m \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
(trường hợp ${{x}^{2}}-2x+m-1=0$ có nghiệm bội chẵn nên không là cực trị).
Xét hàm số $t\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1\Rightarrow {t}'\left( x \right)=2x-2$

Để hàm số đã cho có 9 cực trị thì phương trình $\left( 1 \right), \left( 2 \right), \left( 3 \right)$ phải có 3 nghiệm dương phân biệt khác $1.$ Khi đó, ta có: $\left[ \begin{aligned}
& 1-m\ge -1 \\
& -2<2-m<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 2 \\
& 3<m<4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0\le 2m\le 4 \\
& 6<2m<8 \\
\end{aligned} \right..$
Do $2m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ $2m\in \left\{ 0;1;2;3;4;7 \right\}.$ Vậy có 6 giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.