Google
Câu hỏi: Cho hai số phức phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ là số ảo và $\left| {{z}_{1}}-1 \right|=1$. Giá trị lớn nhất $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $2\sqrt{2}$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
Đặt: ${{z}_{1}}=a+bi$, ${{z}_{2}}=c+di$
$\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}=\dfrac{\left( a+bi \right)+\left( c+di \right)}{\left( a+bi \right)-\left( c+di \right)}=\dfrac{\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i}{\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i}=\dfrac{\left[ \left( a+c \right)+\left( b+d \right)i \right]\left[ \left( a-c \right)-\left( b-d \right)i \right]}{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)+\left[ \left( b+d \right)\left( a-c \right)-\left( a+c \right)\left( b-d \right) \right]i}{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$
Ta có: $\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ là số ảo
Suy ra ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{d}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$
Lại có: $\left| {{z}_{1}}-1 \right|=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$, suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|\le 2$.
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\left| {{z}_{1}} \right|\le 2.2=4$
Vậy giá trị lớn nhất $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng $4$ và dấu bằng xảy ra khi ${{z}_{2}}=-{{z}_{1}}=-2$.
$\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}=\dfrac{\left( a+bi \right)+\left( c+di \right)}{\left( a+bi \right)-\left( c+di \right)}=\dfrac{\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i}{\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i}=\dfrac{\left[ \left( a+c \right)+\left( b+d \right)i \right]\left[ \left( a-c \right)-\left( b-d \right)i \right]}{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)+\left[ \left( b+d \right)\left( a-c \right)-\left( a+c \right)\left( b-d \right) \right]i}{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$
Ta có: $\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}$ là số ảo
Suy ra ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{d}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$
Lại có: $\left| {{z}_{1}}-1 \right|=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$, suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|\le 2$.
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\left| {{z}_{1}} \right|\le 2.2=4$
Vậy giá trị lớn nhất $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng $4$ và dấu bằng xảy ra khi ${{z}_{2}}=-{{z}_{1}}=-2$.
Đáp án B.