Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left|...

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, ta có $\left| {{z}_{1}}+2+8i \right|=2\sqrt{5}$ nên tập hợp điểm $M$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;-8 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$, ta có $\left| {{z}_{2}}+3+5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|$ nên tập hợp điểm $N$ là đường trung trực $d:x+2y+3=0$ của $AB$ với $A\left( -3;-5 \right)$, $B\left( 1;3 \right)$.
Gọi $C\left( 3;-1 \right)$, $D\left( -3;-4 \right)$ suy ra $CD:-x+2y+5=0$ và $CD=3\sqrt{5}$.
Do đó $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-3+i \right|+\left| {{z}_{2}}+3+4i \right|=MN+NC+ND\ge \text{d}\left( I,d \right)-R+CD$.
Gọi $N=CD\cap d$, tọa độ $N$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+3=0 \\
& -x+2y+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( 1;-2 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IN}=\left( 3;6 \right)=3{{\overrightarrow{n}}_{d}}$ nên $IN\bot d$. Do đó $\text{d}\left( I,d \right)=IN=3\sqrt{5}$.
Vậy $P\ge 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}$.
Dấu xảy ra khi $N=CD\cap d$, $IN\bot d$ và $M$ là giao điểm của $IN$ với đường tròn $\left( C \right)$.