Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-2-i \right|=5;\left| z+2+mi \right|=\left| z-m+i \right|,\text{ }\left( m\in \mathbb{R} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ thuộc đoạn nào sau đây?
A. $\left[ 4;5 \right]$.
B. $\left[ 8;9 \right]$.
C. $\left[ 5;6 \right]$.
D. $\left[ 6;7 \right]$.
Đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Khi đó:
$\begin{aligned}
& \left| z-2-i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25 \\
& \left| z+2+mi \right|=\left| z-m+i \right|\Leftrightarrow \left( 2m+4 \right)x+\left( 2m-2 \right)y+3=0 \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{z}_{1}},{{z}_{2}}$ vừa thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right)$ và bán kính $R=5$ vừa thuộc đường thẳng $d$ có phương trình $\left( 2m+4 \right)x+\left( 2m-2 \right)y+3=0$ (ở đây, $d$ không đi qua tâm $I$ mà luôn đi qua điểm $K\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ cố định) và giả sử $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$.
Do đó, $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB$. Vậy $P$ có giá trị nhỏ nhất khi $d\bot IK.$ Khi đó,
$AB=2KB=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{74}\Rightarrow $ giá trị nhỏ nhất của $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ thuộc đoạn $\left[ 8;9 \right].$.
A. $\left[ 4;5 \right]$.
B. $\left[ 8;9 \right]$.
C. $\left[ 5;6 \right]$.
D. $\left[ 6;7 \right]$.
$\begin{aligned}
& \left| z-2-i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25 \\
& \left| z+2+mi \right|=\left| z-m+i \right|\Leftrightarrow \left( 2m+4 \right)x+\left( 2m-2 \right)y+3=0 \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{z}_{1}},{{z}_{2}}$ vừa thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right)$ và bán kính $R=5$ vừa thuộc đường thẳng $d$ có phương trình $\left( 2m+4 \right)x+\left( 2m-2 \right)y+3=0$ (ở đây, $d$ không đi qua tâm $I$ mà luôn đi qua điểm $K\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ cố định) và giả sử $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$.
Do đó, $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB$. Vậy $P$ có giá trị nhỏ nhất khi $d\bot IK.$ Khi đó,
$AB=2KB=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{74}\Rightarrow $ giá trị nhỏ nhất của $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ thuộc đoạn $\left[ 8;9 \right].$.
Đáp án B.
