Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-2 \right|=\left| z \right|$ và $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|=4$. Số phức $w$ thỏa mãn $\left| w-3-5i \right|=1$, số phức $u$ thỏa mãn $\left| u-4+4i \right|=2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=\left| w-{{z}_{2}} \right|+\left| u-{{z}_{1}} \right|$ là
A. $5\sqrt{3}-3$.
B. $5\sqrt{2}-3$.
C. $2\sqrt{5}-3$.
D. $5\sqrt{3}-2$.
A. $5\sqrt{3}-3$.
B. $5\sqrt{2}-3$.
C. $2\sqrt{5}-3$.
D. $5\sqrt{3}-2$.
Gọi $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, $w$, $u$.
Do ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-2 \right|=\left| z \right|$ và $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|=4$ và nên $A$, $B$ thuộc đường trung trực $d:x=1$ của đoạn $EO$ với $E\left( 2;0 \right)$, khi đó $A\left( 1;y \right)$ và $B\left( 1;y+4 \right)$.
Do số phức $w$ thỏa mãn $\left| w-3-5i \right|=1$, số phức $u$ thỏa mãn $\left| u-4+4i \right|=2$ nên $C$, $D$ lần lượt thuộc $\left( {{C}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{1}}\left( 3;5 \right) \\
{{R}_{1}}=1 \\
\end{matrix} \right. $, $ \left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( 4;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right.$.
$T=\left| w-{{z}_{2}} \right|+\left| u-{{z}_{1}} \right|=BC+AD$
Cách 1:
Ta có $B{{C}_{\min }}=B{{I}_{1}}-{{R}_{1}}=\sqrt{4+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}-1$, $A{{D}_{\min }}=A{{I}_{2}}-{{R}_{2}}=\sqrt{9+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}-2$
Khi đó, $T\ge \sqrt{4+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{9+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}-3\ge \sqrt{{{\left( 2+3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-y+y-4 \right)}^{2}}}-3=5\sqrt{2}-3$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{2}{3}=\dfrac{1-y}{y+4}\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow A\left( 1;-1 \right)$, $B\left( 1;3 \right)$.
Cách 2:
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( -2;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ là ảnh của $ \left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( 4;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ qua phép đối xứng trục $ d$.
Gọi $\left( {{C}_{4}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( -2;0 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ là ảnh của $ \left( {{C}_{3}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( -2;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ qua phép tịnh tiến theo $ \overrightarrow{v}=\left( 0;4 \right)$.
Khi đó $T\ge {{I}_{1}}B-{{R}_{1}}+{{I}_{2}}A-{{R}_{2}}={{I}_{1}}B+{{I}_{3}}A-3={{I}_{1}}B+{{I}_{4}}B-3\ge {{I}_{1}}{{I}_{4}}-3=5\sqrt{2}-3$.
Đẳng thức xảy ra khi $B={{I}_{1}}{{I}_{4}}\cap d\Rightarrow B\left( 1;3 \right)\Rightarrow A\left( 1;-1 \right)$.
Do ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-2 \right|=\left| z \right|$ và $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|=4$ và nên $A$, $B$ thuộc đường trung trực $d:x=1$ của đoạn $EO$ với $E\left( 2;0 \right)$, khi đó $A\left( 1;y \right)$ và $B\left( 1;y+4 \right)$.
Do số phức $w$ thỏa mãn $\left| w-3-5i \right|=1$, số phức $u$ thỏa mãn $\left| u-4+4i \right|=2$ nên $C$, $D$ lần lượt thuộc $\left( {{C}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{1}}\left( 3;5 \right) \\
{{R}_{1}}=1 \\
\end{matrix} \right. $, $ \left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( 4;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right.$.
$T=\left| w-{{z}_{2}} \right|+\left| u-{{z}_{1}} \right|=BC+AD$
Cách 1:
Ta có $B{{C}_{\min }}=B{{I}_{1}}-{{R}_{1}}=\sqrt{4+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}-1$, $A{{D}_{\min }}=A{{I}_{2}}-{{R}_{2}}=\sqrt{9+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}-2$
Khi đó, $T\ge \sqrt{4+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{9+{{\left( y+4 \right)}^{2}}}-3\ge \sqrt{{{\left( 2+3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-y+y-4 \right)}^{2}}}-3=5\sqrt{2}-3$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{2}{3}=\dfrac{1-y}{y+4}\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow A\left( 1;-1 \right)$, $B\left( 1;3 \right)$.
Cách 2:
{{I}_{3}}\left( -2;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ là ảnh của $ \left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( 4;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ qua phép đối xứng trục $ d$.
Gọi $\left( {{C}_{4}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( -2;0 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ là ảnh của $ \left( {{C}_{3}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( -2;-4 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ qua phép tịnh tiến theo $ \overrightarrow{v}=\left( 0;4 \right)$.
Khi đó $T\ge {{I}_{1}}B-{{R}_{1}}+{{I}_{2}}A-{{R}_{2}}={{I}_{1}}B+{{I}_{3}}A-3={{I}_{1}}B+{{I}_{4}}B-3\ge {{I}_{1}}{{I}_{4}}-3=5\sqrt{2}-3$.
Đẳng thức xảy ra khi $B={{I}_{1}}{{I}_{4}}\cap d\Rightarrow B\left( 1;3 \right)\Rightarrow A\left( 1;-1 \right)$.
Đáp án B.