Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1$, $\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất của $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}5i \right|$ bằng
A. $-5+\sqrt{19}$.
B. $-5-\sqrt{19}$.
C. $5+\sqrt{19}$.
D. $5-\sqrt{19}$.
A. $-5+\sqrt{19}$.
B. $-5-\sqrt{19}$.
C. $5+\sqrt{19}$.
D. $5-\sqrt{19}$.
Ta có $3={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=2$
${{\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( 3\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)=19$.
Khi đó $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}5i \right|\le \left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| 5i \right|=5+\sqrt{19}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix}
\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{19} \\
3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-5ki \\
k>0 \\
\end{matrix} \right.$.
${{\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( 3\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)=19$.
Khi đó $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}5i \right|\le \left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| 5i \right|=5+\sqrt{19}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix}
\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{19} \\
3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-5ki \\
k>0 \\
\end{matrix} \right.$.
Đáp án A.