Google
Câu hỏi: Cho các số phức $z$, ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thỏa $\left| z-2-2i \right|=\left| \overline{z} \right|$, $\left| {{z}_{1}}+1+i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}+2-i \right|=1$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| z-3{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt{26}-5$.
B. $3\sqrt{10}-5$.
C. $\sqrt{26}-2$.
D. $3\sqrt{5}-2$.
A. $\sqrt{26}-5$.
B. $3\sqrt{10}-5$.
C. $\sqrt{26}-2$.
D. $3\sqrt{5}-2$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, khi đó $M\left( x;y \right)$ thuộc $d:x+y-2=0$ với $d$ là đường trực của $A\left( 2;2 \right)$ và $O\left( 0;0 \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+1+i \right|=1\Leftrightarrow \left| 3{{z}_{1}}+3+3i \right|=3\Leftrightarrow \left| u+3+3i \right|=3$.
Khi đó tập hợp các điểm $U$ biểu diễn số phức $u=3{{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{1}}\left( -3;-3 \right) \\
{{R}_{1}}=3 \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $\left| {{z}_{2}}+2-i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{2}}+4-2i \right|=2\Leftrightarrow \left| v+4-2i \right|=2$.
Khi đó tập hợp các điểm $V$ biểu diễn số phức $v=2{{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( -4;2 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $T=MU+MV$ với $M$ thuộc $d:x+y-2=0$, $U$ thuộc $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $V$ thuộc $\left( {{C}_{2}} \right)$.
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right)$ là đường tròn đối xứng với đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( -4;2 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ qua $ d $ suy ra $ \left( {{C}_{3}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( 0;6 \right) \\
{{R}_{3}}=2 \\
\end{matrix} \right. $. Gọi $ {V}' $ là điểm đối xứng của $ V $ qua $ d $ nên $ {V}' $ thuộc đường tròn $ \left( {{C}_{3}} \right)$.
Khi đó $T=MU+MV=MU+M{V}'\ge \left| M{{I}_{1}}-{{I}_{1}}U \right|+\left| M{{I}_{3}}-{{I}_{3}}{V}' \right|$
$\Leftrightarrow T\ge \left| M{{I}_{1}}-{{I}_{1}}U+M{{I}_{3}}-{{I}_{3}}{V}' \right|\ge \left| {{I}_{1}}{{I}_{3}}-5 \right|=3\sqrt{10}-5$.
Đẳng thức xảy ra khi $M={{I}_{1}}{{I}_{3}}\cap d\Rightarrow M\left( -1;3 \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+1+i \right|=1\Leftrightarrow \left| 3{{z}_{1}}+3+3i \right|=3\Leftrightarrow \left| u+3+3i \right|=3$.
Khi đó tập hợp các điểm $U$ biểu diễn số phức $u=3{{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{1}}\left( -3;-3 \right) \\
{{R}_{1}}=3 \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $\left| {{z}_{2}}+2-i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{2}}+4-2i \right|=2\Leftrightarrow \left| v+4-2i \right|=2$.
Khi đó tập hợp các điểm $V$ biểu diễn số phức $v=2{{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( -4;2 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $T=MU+MV$ với $M$ thuộc $d:x+y-2=0$, $U$ thuộc $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $V$ thuộc $\left( {{C}_{2}} \right)$.
{{I}_{2}}\left( -4;2 \right) \\
{{R}_{2}}=2 \\
\end{matrix} \right. $ qua $ d $ suy ra $ \left( {{C}_{3}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{3}}\left( 0;6 \right) \\
{{R}_{3}}=2 \\
\end{matrix} \right. $. Gọi $ {V}' $ là điểm đối xứng của $ V $ qua $ d $ nên $ {V}' $ thuộc đường tròn $ \left( {{C}_{3}} \right)$.
Khi đó $T=MU+MV=MU+M{V}'\ge \left| M{{I}_{1}}-{{I}_{1}}U \right|+\left| M{{I}_{3}}-{{I}_{3}}{V}' \right|$
$\Leftrightarrow T\ge \left| M{{I}_{1}}-{{I}_{1}}U+M{{I}_{3}}-{{I}_{3}}{V}' \right|\ge \left| {{I}_{1}}{{I}_{3}}-5 \right|=3\sqrt{10}-5$.
Đẳng thức xảy ra khi $M={{I}_{1}}{{I}_{3}}\cap d\Rightarrow M\left( -1;3 \right)$.
Đáp án B.