Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\sqrt{2}$. Biết biểu thức $P={{\left| z+1-2i \right|}^{2}}-{{\left| z-2+i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lần lượt tại $z={{z}_{1}}$ và $z={{z}_{2}}$. Giá trị của $\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $3\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{2}$.
A. $3\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{2}$.
Gọi $z=x+yi$.
$\left| z-1+i \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$
$P={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=6x-6y=6\left( x-1 \right)-6\left( y+1 \right)+12$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxiki cho hai bộ số $\left( x-1;y+1 \right)$ và $\left( 1;-1 \right)$ ta được
${{\left[ 1.\left( x-1 \right)-1.\left( y+1 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right)\left( 1+1 \right)=4\Leftrightarrow -2\le 1.\left( x-1 \right)-1.\left( y+1 \right)\le 2$.
$-2\le 1.\left( x-1 \right)-1.\left( y+1 \right)\le 2\Leftrightarrow 0\le 6.\left( x-1 \right)-6.\left( y+1 \right)+12\le 24$
$P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $24$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
x-1=-y-1 \\
6\left( x-1 \right)-6\left( y+1 \right)=12 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=2 \\
y=-2 \\
\end{matrix} \right. \right.$
$P$ đạt giá trị bé nhất bằng $0$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
x-1=-y-1 \\
6\left( x-1 \right)-6\left( y+1 \right)=-12 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right. \right.$
${{z}_{1}}=2-2i, {{z}_{2}}=0\Rightarrow \left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=4\sqrt{2}$.
$\left| z-1+i \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$
$P={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=6x-6y=6\left( x-1 \right)-6\left( y+1 \right)+12$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxiki cho hai bộ số $\left( x-1;y+1 \right)$ và $\left( 1;-1 \right)$ ta được
${{\left[ 1.\left( x-1 \right)-1.\left( y+1 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right)\left( 1+1 \right)=4\Leftrightarrow -2\le 1.\left( x-1 \right)-1.\left( y+1 \right)\le 2$.
$-2\le 1.\left( x-1 \right)-1.\left( y+1 \right)\le 2\Leftrightarrow 0\le 6.\left( x-1 \right)-6.\left( y+1 \right)+12\le 24$
$P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $24$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
x-1=-y-1 \\
6\left( x-1 \right)-6\left( y+1 \right)=12 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=2 \\
y=-2 \\
\end{matrix} \right. \right.$
$P$ đạt giá trị bé nhất bằng $0$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
x-1=-y-1 \\
6\left( x-1 \right)-6\left( y+1 \right)=-12 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right. \right.$
${{z}_{1}}=2-2i, {{z}_{2}}=0\Rightarrow \left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=4\sqrt{2}$.
Đáp án D.
