Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y+5}{3}=\dfrac{z-3}{-4}$. Mặt phẳng $\left( P \right);\left( Q \right)$ là 2 mặt phẳng vuông góc nhau, luôn chứa $d$ và cắt $\Delta $ tại $N,M$. Tìm độ dài $MN$ ngắn nhất
A. $\dfrac{182\sqrt{319}}{319}$.
B. $\dfrac{91}{\sqrt{638}}$.
C. $\dfrac{91}{\sqrt{319}}$.
D. $\dfrac{91\sqrt{638}}{319}$.
Ta nhận xét $d\bot \Delta $ do $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=3.2+2.3+3.\left( -4 \right)=0$
Trong $\left( Q \right),ME\bot d$ tại $E$. Suy ra $ME\bot \left( P \right)\Rightarrow ME\bot NE\Rightarrow \Delta MEN$ vuông tại $E$
Hạ đường cao $EF$ trong $\Delta MEN$ vuông tại $E$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot ME \\
& d\bot MN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( MEN \right)\Rightarrow d\bot EF$
Mà $EF\bot \Delta \Rightarrow EF=d\left( d,\Delta \right)$
Gọi $K$ là trung điểm $MN$. Khi đó, $MN=2EK\le 2EF=2d\left( d,\Delta \right)$
Dấu bằng xảy ra khi $K\equiv F$, tức là $\Delta MEN$ vuông cân tại $E$
Ta có:
$\begin{aligned}
& d:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 2\ ;\ -1\ ;\ 0 \right)\in d \\
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3\ ;\ 2\ ;\ 3 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Delta :\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y+5}{3}=\dfrac{z-3}{-4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B\left( 4\ ;\ -5\ ;\ 3 \right)\in \Delta \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2\ ;\ 3\ ;\ -4 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Suy ra,
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 2\ ;\ -4\ ;\ 3 \right) \\
& \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( -17\ ;\ 18\ ;\ 5 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}=\dfrac{91}{\sqrt{638}}$
Vậy $MN$ ngắn nhất là $2.\dfrac{91}{\sqrt{638}}=\dfrac{91\sqrt{638}}{319}$
A. $\dfrac{182\sqrt{319}}{319}$.
B. $\dfrac{91}{\sqrt{638}}$.
C. $\dfrac{91}{\sqrt{319}}$.
D. $\dfrac{91\sqrt{638}}{319}$.
Trong $\left( Q \right),ME\bot d$ tại $E$. Suy ra $ME\bot \left( P \right)\Rightarrow ME\bot NE\Rightarrow \Delta MEN$ vuông tại $E$
Hạ đường cao $EF$ trong $\Delta MEN$ vuông tại $E$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot ME \\
& d\bot MN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( MEN \right)\Rightarrow d\bot EF$
Mà $EF\bot \Delta \Rightarrow EF=d\left( d,\Delta \right)$
Gọi $K$ là trung điểm $MN$. Khi đó, $MN=2EK\le 2EF=2d\left( d,\Delta \right)$
Dấu bằng xảy ra khi $K\equiv F$, tức là $\Delta MEN$ vuông cân tại $E$
Ta có:
$\begin{aligned}
& d:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 2\ ;\ -1\ ;\ 0 \right)\in d \\
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3\ ;\ 2\ ;\ 3 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Delta :\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y+5}{3}=\dfrac{z-3}{-4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B\left( 4\ ;\ -5\ ;\ 3 \right)\in \Delta \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2\ ;\ 3\ ;\ -4 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Suy ra,
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 2\ ;\ -4\ ;\ 3 \right) \\
& \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( -17\ ;\ 18\ ;\ 5 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}=\dfrac{91}{\sqrt{638}}$
Vậy $MN$ ngắn nhất là $2.\dfrac{91}{\sqrt{638}}=\dfrac{91\sqrt{638}}{319}$
Đáp án D.