Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x; y$ thỏa mãn ${{e}^{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}+{{e}^{xy}}\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-1 \right)-{{e}^{1+xy+{{y}^{2}}}}=0$. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{1+xy}$. Tính $M-m$ :
A. $M-m=3$.
B. $M-m=1$.
C. $M-m=2$.
D. $M-m=\dfrac{1}{2}$.
A. $M-m=3$.
B. $M-m=1$.
C. $M-m=2$.
D. $M-m=\dfrac{1}{2}$.
+ Đặt $a={{x}^{2}}+2{{y}^{2}}; b=1+xy+{{y}^{2}}\Rightarrow a-b={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1-xy$. Theo bài ra ta có ${{e}^{a}}+{{e}^{xy}}\left( a-b \right)-{{e}^{b}}=0$ $\Leftrightarrow {{e}^{a}}-{{e}^{b}}={{e}^{xy}}\left( b-a \right) \left( * \right)$.
+ Nếu $a>b$ thì ${{e}^{a}}-{{e}^{b}}>0; {{e}^{xy}}\left( b-a \right)<0$, do đó không thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$, loại.
+Nếu $a<b$ thì ${{e}^{a}}-{{e}^{b}}<0; {{e}^{xy}}\left( b-a \right)>0$, không thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$, loại.
+ Nếu $a=b$ thì ${{e}^{a}}-{{e}^{b}}=0={{e}^{xy}}\left( b-a \right)$, thỏa mãn.
Vậy $a=b\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1-xy=0\Leftrightarrow 1+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$, khi đó $P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
+ Ta có $xy\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1+xy\le 1+\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\le 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2\Rightarrow P\ge \dfrac{1}{2}$.
Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{1}{2}=m$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$.
+Mặt khác, ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge -2xy\Leftrightarrow xy\ge -\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$, nên
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1+xy\ge 1-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge 1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \dfrac{3}{2}$.
Vậy ${{P}_{\max }}=\dfrac{3}{2}=M$. Dấu bằng xảy ra khi $x=-y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
+ Do đó $M-m=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$
+ Nếu $a>b$ thì ${{e}^{a}}-{{e}^{b}}>0; {{e}^{xy}}\left( b-a \right)<0$, do đó không thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$, loại.
+Nếu $a<b$ thì ${{e}^{a}}-{{e}^{b}}<0; {{e}^{xy}}\left( b-a \right)>0$, không thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$, loại.
+ Nếu $a=b$ thì ${{e}^{a}}-{{e}^{b}}=0={{e}^{xy}}\left( b-a \right)$, thỏa mãn.
Vậy $a=b\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1-xy=0\Leftrightarrow 1+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$, khi đó $P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
+ Ta có $xy\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1+xy\le 1+\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\le 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2\Rightarrow P\ge \dfrac{1}{2}$.
Vậy ${{P}_{\min }}=\dfrac{1}{2}=m$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$.
+Mặt khác, ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge -2xy\Leftrightarrow xy\ge -\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$, nên
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1+xy\ge 1-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge 1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow P=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \dfrac{3}{2}$.
Vậy ${{P}_{\max }}=\dfrac{3}{2}=M$. Dấu bằng xảy ra khi $x=-y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
+ Do đó $M-m=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$
Đáp án B.
