Google
Câu hỏi: Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x+y\ne -1$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=x+y+1$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{xy}{x+y+1}$. Tính $M+m$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $-\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $-\dfrac{1}{3}$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $-\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $-\dfrac{1}{3}$.
Với $y=0$ ta có $P=0$.
Với $y\ne 0$ ta có $P=\dfrac{xy}{x+y+1}=\dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy}=\dfrac{\dfrac{x}{y}}{{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+\dfrac{x}{y}+1}$. Đặt $t=\dfrac{x}{y}$.
Khi đó $P=\dfrac{t}{{{t}^{2}}+t+1}$ $\Leftrightarrow $ $P{{t}^{2}}+\left( P-1 \right)t+P=0$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow $ ${{\Delta }_{\left( * \right)}}\ge 0$ $\Leftrightarrow $ ${{\left( P-1 \right)}^{2}}-4{{P}^{2}}\ge 0$ $\Leftrightarrow $ $-1\le P\le \dfrac{1}{3}$.
Khi đó $M+m=-\dfrac{2}{3}$.
Với $y\ne 0$ ta có $P=\dfrac{xy}{x+y+1}=\dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy}=\dfrac{\dfrac{x}{y}}{{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+\dfrac{x}{y}+1}$. Đặt $t=\dfrac{x}{y}$.
Khi đó $P=\dfrac{t}{{{t}^{2}}+t+1}$ $\Leftrightarrow $ $P{{t}^{2}}+\left( P-1 \right)t+P=0$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow $ ${{\Delta }_{\left( * \right)}}\ge 0$ $\Leftrightarrow $ ${{\left( P-1 \right)}^{2}}-4{{P}^{2}}\ge 0$ $\Leftrightarrow $ $-1\le P\le \dfrac{1}{3}$.
Khi đó $M+m=-\dfrac{2}{3}$.
Đáp án B.