Google
Câu hỏi: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ OG theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA}; \overrightarrow {OB} ; \overrightarrow {OC} \) . Từ đó hãy tính tọa độ điểm G theo tọa độ của A, B và C.
Lời giải chi tiết
Ta có:
Với G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm O ta có:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \) (phần 3b trang 15 SGK Hình học 10)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left({{x_B};{y_B}} \right),\\\overrightarrow {OC} = \left({{x_C};{y_C}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \left({\frac{{{x_A}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3}} \right)\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OB} = \left({\frac{{{x_B}}}{3};\frac{{{y_B}}}{3}} \right)\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OC} = \left({\frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_C}}}{3}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\ = \left({\frac{{{x_A}}}{3} + \frac{{{x_B}}}{3} + \frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3} + \frac{{{y_B}}}{3} + \frac{{{y_C}}}{3}} \right)\\ = \left({\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\end{array}\)
Vậy \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Ta có:
Với G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm O ta có:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \) (phần 3b trang 15 SGK Hình học 10)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left({{x_B};{y_B}} \right),\\\overrightarrow {OC} = \left({{x_C};{y_C}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \left({\frac{{{x_A}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3}} \right)\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OB} = \left({\frac{{{x_B}}}{3};\frac{{{y_B}}}{3}} \right)\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OC} = \left({\frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_C}}}{3}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\ = \left({\frac{{{x_A}}}{3} + \frac{{{x_B}}}{3} + \frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3} + \frac{{{y_B}}}{3} + \frac{{{y_C}}}{3}} \right)\\ = \left({\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\end{array}\)
Vậy \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)