Câu hỏi 4 trang 95 SGK Giải tích 12

Phương pháp giải
- Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\).
- Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) = F'\left(x \right), g\left(x \right) = G'\left(x \right)\).
Suy ra \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left(x \right)} \right]dx} \) \(= \int {\left[ {F'\left( x \right) \pm G'\left(x \right)} \right]dx} \) \(= \int {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left(x \right)} \right]'dx} \) \(= F\left( x \right) \pm G\left(x \right) + C\)
Lại có \(\int {f\left( x \right)dx}  \pm \int {g\left(x \right)dx} \) \(= \int {F'\left( x \right)dx}  \pm \int {G'\left(x \right)dx} \) \(= F\left( x \right) \pm G\left(x \right) + C\).
Vậy \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left(x \right)} \right]dx}  = \int {f\left(x \right)dx}  \pm \int {g\left(x \right)dx} \) (đpcm)