Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

Câu a​

a)  \(∫{(1-x)}^9dx\)   (đặt \(u =1-x\) ) ;
Phương pháp giải:
+) Đặt  \(u = u\left( x \right) \Rightarrow du = u'\left(x \right)dx.\)
+) Khi đó:  \(\Rightarrow I = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left(u \right)du.} \)
+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn \(u\).
+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn \(x\).
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được  \(-\int u^{9}du = -\dfrac{1}{10}u^{10}+C\)
Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\dfrac{(1-x)^{10}}{10}+C\)
Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx =  - \smallint {\left({1 - x} \right)^{9}}d\left({1 - x} \right)=\)  \(-\dfrac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

Câu b​

b)  \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) ​)
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt \(u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx \\= \dfrac{1}{2}du.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{1}{2}{u^{\dfrac{3}{2}}}du = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{u^{\dfrac{3}{2} + 1}}}}{{\dfrac{3}{2} + 1}} + C} \\ = \dfrac{{{u^{\dfrac{5}{2}}}}}{5} + C = \dfrac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\dfrac{5}{2}}}}}{5} + C.\end{array}\)
Cách 2:  \(\int x(1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}dx\\= \dfrac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}d(1+x^2{}) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C \\= \dfrac{1}{5}.(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C\)

Câu c​

c)  \(∫cos^3xsinxdx\)   (đặt \(t = cosx\))
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt:  \(t = {\mathop{\rm cosx}\nolimits}  \Rightarrow dt =  - sinxdx.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\cos }^3}x.{\mathop{\rm sinxdx}\nolimits} }  = \int { - {t^3}du} \\ =  - \dfrac{1}{4}{t^4} + C =  - \dfrac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\end{array}\)
Cách 2: \(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\\= -\dfrac{1}{4}. Cos^{4}x + C.\)

Câu d​

d)  \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\)    (đặt \(u= e^x+1\))
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có:  \({e^x} + {e^{ - x}} + 2 = {e^x} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + 2 \\= \dfrac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = \dfrac{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}{{{e^x}}}.\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = \dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.\)
Đặt  \(u = {e^x} + 1 \Rightarrow du = {e^x}dx.\)
\(\int {\dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}}  = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}dx} \) \(= \int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}}  =  - \dfrac{1}{u} + C =  - \dfrac{1}{{{e^x} + 1}} + C\)
Cách 2: \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} =  \int \dfrac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\\ =  \int \dfrac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=\dfrac{-1}{e^{x}+1} + C.\)