Google
Câu hỏi: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?
a) \(e^{-x}\) và \(- e^{-x}\); b) \(\sin 2x\) và \(\sin^2x\)
c) \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\) và \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)
a) \(e^{-x}\) và \(- e^{-x}\); b) \(\sin 2x\) và \(\sin^2x\)
c) \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\) và \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)
Phương pháp giải
+) Sử dụng định nghĩa: Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
+) Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản: \(\left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u}; \left({\sin u} \right)' = u'\cos u....\)
Lời giải chi tiết
a) \(e^{-x}\) và \(- e^{-x}\) là nguyên hàm của nhau, vì:
\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left({ - 1} \right)= - {e^{ - x}}\) và \(( - {e^{ - x}})' = \left({ - 1} \right)(- {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)
b) \(sin^2x\) là nguyên hàm của \(sin2x\), vì:
\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left({sinx} \right)' \\= 2sinxcosx = sin2x\)
c) \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\) là một nguyên hàm của \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\) vì:
\(({(1-\dfrac{4}{x})e^{x})}'\) \(= \dfrac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)\(= \left (1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}} \right)e^{x}\) \(= (1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}.\)
+) Sử dụng định nghĩa: Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
+) Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản: \(\left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u}; \left({\sin u} \right)' = u'\cos u....\)
Lời giải chi tiết
a) \(e^{-x}\) và \(- e^{-x}\) là nguyên hàm của nhau, vì:
\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left({ - 1} \right)= - {e^{ - x}}\) và \(( - {e^{ - x}})' = \left({ - 1} \right)(- {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)
b) \(sin^2x\) là nguyên hàm của \(sin2x\), vì:
\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left({sinx} \right)' \\= 2sinxcosx = sin2x\)
c) \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\) là một nguyên hàm của \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\) vì:
\(({(1-\dfrac{4}{x})e^{x})}'\) \(= \dfrac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)\(= \left (1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}} \right)e^{x}\) \(= (1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}.\)