Google
Câu hỏi: Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.
Phương pháp giải
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì mọi hàm số \(F\left( x \right) + C, C \in \mathbb{R}\) đều là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
a. Vì \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của \(f\left( x \right) = 2x\) là \({x^2} + 1,{x^2} - 2,{x^2} + \sqrt 2 ,...\)
Tổng quát: \(F\left( x \right) = {x^2} + C, C \in \mathbb{R}\) là họ nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 2x\).
b. Vì \(F\left( x \right) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) là \(\ln x + 1,\ln x - 3,\ln x + \dfrac{1}{2},...\)
Tổng quát: \(F\left( x \right) = \ln x + C, C \in \mathbb{R}\) là họ nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\).
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì mọi hàm số \(F\left( x \right) + C, C \in \mathbb{R}\) đều là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
a. Vì \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của \(f\left( x \right) = 2x\) là \({x^2} + 1,{x^2} - 2,{x^2} + \sqrt 2 ,...\)
Tổng quát: \(F\left( x \right) = {x^2} + C, C \in \mathbb{R}\) là họ nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 2x\).
b. Vì \(F\left( x \right) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) là \(\ln x + 1,\ln x - 3,\ln x + \dfrac{1}{2},...\)
Tổng quát: \(F\left( x \right) = \ln x + C, C \in \mathbb{R}\) là họ nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\).