Google
Câu hỏi: Ta có: \(\left( {x\cos x} \right)' = \cos x-x\sin x \) hay \(- x\sin x{\rm{ }} = \left( {x\cos x} \right)'-\cos x.\)
Hãy tính: \(\smallint \left( {x\cos x} \right)'dx\) và \(\smallint \cos xdx\)
Từ đó tính \(\smallint x\sin xdx.\)
Hãy tính: \(\smallint \left( {x\cos x} \right)'dx\) và \(\smallint \cos xdx\)
Từ đó tính \(\smallint x\sin xdx.\)
Phương pháp giải
Tính các nguyên hàm, sử dụng công thức: \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left(x \right) + C\) và các tính chất của nguyên hàm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\int {\left( {x\cos x} \right)'dx} = x\cos x + {C_1}\) và \(\int {\cos xdx} = \sin x + {C_2}\)
Do đó \(\int {x\sin xdx} = - \int { (- x\sin x)dx} \) \(= - \int {\left[ {\left( {x\cos x} \right)' - \cos x} \right]dx} \) \(= - \int {\left( {x\cos x} \right)'dx} + \int {\cos xdx} \) \(= - x\cos x - {C_1} + \sin x + {C_2}\) \(= - x\cos x + \sin x + C\).
Tính các nguyên hàm, sử dụng công thức: \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left(x \right) + C\) và các tính chất của nguyên hàm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\int {\left( {x\cos x} \right)'dx} = x\cos x + {C_1}\) và \(\int {\cos xdx} = \sin x + {C_2}\)
Do đó \(\int {x\sin xdx} = - \int { (- x\sin x)dx} \) \(= - \int {\left[ {\left( {x\cos x} \right)' - \cos x} \right]dx} \) \(= - \int {\left( {x\cos x} \right)'dx} + \int {\cos xdx} \) \(= - x\cos x - {C_1} + \sin x + {C_2}\) \(= - x\cos x + \sin x + C\).