Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Câu a​

a) \(∫x\ln (1+x)dx\);
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left(x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left(x \right)dx\\v = v\left(x \right)\end{array} \right..\)
Khi đó ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left(x \right)v\left(x \right) \\- \int {u'\left(x \right)v\left(x \right)dx} .\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} \)
Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left({1 + x} \right) - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left({x + 1} \right)}}dx} } \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left({1 + x} \right) \\- \dfrac{1}{2}\int {\left({\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left({1 + x} \right) \\- \dfrac{1}{2}\int {\left({x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left({1 + x} \right) \\- \dfrac{1}{2}\left({\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left({1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2}\\ - \dfrac{1}{2}\ln \left({1 + x} \right) + C\\= \dfrac{1}{2}\left({{x^2} - 1} \right)\ln \left({1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} \\+ \dfrac{x}{2} + C.\end{array}\)

Câu b​

b) \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx.} \)
Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x + 2} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx\\= \left({{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} \\- \int {\left({2x + 2} \right){e^x}dx} } \\ = \left({{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2\int {\left({x + 1} \right){e^x}dx} .\end{array}\)
Xét \(\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx:} \)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  \\= \left({x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left({x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left({{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx}  \\= \left({{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2x{e^x} + C\\ = \left({{x^2} - 1} \right){e^x} + C.\end{array}\)

Câu c​

c) \(∫x\sin(2x+1)dx\);
Lời giải chi tiết:
\(\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} .\)
Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left( {2x + 1} \right)dx\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{1}{2}\cos \left({2x + 1} \right)\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx}  \\=  - \dfrac{1}{2}x\cos \left({2x + 1} \right) \\+ \dfrac{1}{2}\int {\cos \left({2x + 1} \right)dx} \\ =  - \dfrac{1}{2}x\cos \left({2x + 1} \right) \\+ \dfrac{1}{4}\sin \left({2x + 1} \right) + C.\end{array}\)

Câu d​

d) \(\int (1-x)\cos xdx\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} \)
Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - dx\\v = \sin x\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx}  \\= \left({1 - x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left({1 - x} \right)\sin x - \cos x + C.\end{array}\)