Google
Câu hỏi: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x tùy ý.
Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^{100}}\) tại điểm x.
Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^{100}}\) tại điểm x.
Phương pháp giải
- Tính Δy.
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}}\) suy ra đạo hàm.
Lời giải chi tiết
- Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:
\(\eqalign{
& \Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \cr
& = {({x_0} + \Delta x)^3} - {x_0}^3 = 3{x_0}^2\Delta x + 3{x_0}{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} \cr
& \Rightarrow y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3{x_0}^2 + 3{x_0}\Delta x + {(\Delta x)^2}) = 3{x_0}^2 \cr} \)
- Dự đoán đạo hàm của \(y = {x^{100}}\) tại điểm \(x\) là \(y = 100{x^{99}}\)
- Tính Δy.
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}}\) suy ra đạo hàm.
Lời giải chi tiết
- Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:
\(\eqalign{
& \Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \cr
& = {({x_0} + \Delta x)^3} - {x_0}^3 = 3{x_0}^2\Delta x + 3{x_0}{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} \cr
& \Rightarrow y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3{x_0}^2 + 3{x_0}\Delta x + {(\Delta x)^2}) = 3{x_0}^2 \cr} \)
- Dự đoán đạo hàm của \(y = {x^{100}}\) tại điểm \(x\) là \(y = 100{x^{99}}\)