Google
Câu hỏi: Đối với mỗi giá trị của tham số m, hãy xác định số nghiệm của phương trình :
\(\sqrt {2\left| x \right| - {x^2}} = m\)
\(\sqrt {2\left| x \right| - {x^2}} = m\)
Lời giải chi tiết
Với \(m < 0\) : Phương trình vô nghiệm
Với \(m = 0\) : Phương trình có ba nghiệm \(x = 0; x = ±2.\)
Với \(m > 0\) : Phương trình tương đương với
\(\left| {{x^2}} \right| - 2\left| x \right| + {m^2} = 0.\) (1)
Xét phương trình \({y^2} - 2y + {m^2} = 0\) (2)
Có \(\Delta ' = 1 - {m^2}.\)
- Nếu \(m > 1\) thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.
- Nếu \(m = 1\) thì (2) có nghiệm \(y = 1\) nên (1) có hai nghiệm \(x = ±1.\)
- Nếu \(0 < m < 1\) thì (2) có hai nghiệm dương
\({y_1} = 1 + \sqrt {1 - {m^2}} ,{y_2} = 1 - \sqrt {1 - {m^2}} \)
Suy ra (1) có bốn nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}{x_{1,2}} = \pm \left( {1 + \sqrt {1 - {m^2}} } \right)\\{x_{3,4}} = \pm \left({1 - \sqrt {1 - {m^2}} } \right).\end{array}\)
Với \(m < 0\) : Phương trình vô nghiệm
Với \(m = 0\) : Phương trình có ba nghiệm \(x = 0; x = ±2.\)
Với \(m > 0\) : Phương trình tương đương với
\(\left| {{x^2}} \right| - 2\left| x \right| + {m^2} = 0.\) (1)
Xét phương trình \({y^2} - 2y + {m^2} = 0\) (2)
Có \(\Delta ' = 1 - {m^2}.\)
- Nếu \(m > 1\) thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.
- Nếu \(m = 1\) thì (2) có nghiệm \(y = 1\) nên (1) có hai nghiệm \(x = ±1.\)
- Nếu \(0 < m < 1\) thì (2) có hai nghiệm dương
\({y_1} = 1 + \sqrt {1 - {m^2}} ,{y_2} = 1 - \sqrt {1 - {m^2}} \)
Suy ra (1) có bốn nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}{x_{1,2}} = \pm \left( {1 + \sqrt {1 - {m^2}} } \right)\\{x_{3,4}} = \pm \left({1 - \sqrt {1 - {m^2}} } \right).\end{array}\)