Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hai số phức phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) khi và chỉ khi \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo.
Lời giải chi tiết
\({z_1} \ne {z_2}\) thì \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo \(\Leftrightarrow {{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}} + \overline {\left( {{{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}} \right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\overline {\left({{z_1} - {z_2}} \right)} + \left({{z_1} - {z_2}} \right)\overline {\left({{z_1} + {z_2}} \right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2\left( {{z_1}\overline {{z_1}} - {z_2}\overline {{z_2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).
\({z_1} \ne {z_2}\) thì \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo \(\Leftrightarrow {{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}} + \overline {\left( {{{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}} \right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\overline {\left({{z_1} - {z_2}} \right)} + \left({{z_1} - {z_2}} \right)\overline {\left({{z_1} + {z_2}} \right)} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2\left( {{z_1}\overline {{z_1}} - {z_2}\overline {{z_2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).