Google
Câu hỏi:
Với mỗi số nguyên \(n \ge 1\), xét các tổng
\(S = c{\rm{os}}b + c{\rm{os}}\left( {a + b} \right) + c{\rm{os}}\left({2a + b} \right) + ... \)
\(+ c{\rm{os}}\left( {na + b} \right)\)
\(S = \sin b + \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left({2a + b} \right) + ... \)
\(+ \sin \left( {na + b} \right)\)
Tính \(S + iT\), từ đó suy ra S và T
Giải chi tiết:
Đặt \(\alpha = c{\rm{os}}a + i\sin a,\beta = \cos b + i\sin b\) thì
\(\eqalign{& S = iT = \left[ {\cos b + i\sin b} \right] \cr&+ \left[ {\cos \left( {a + b} \right) + i\sin \left({a + b} \right)} \right] \cr & + \left[ {\cos \left({2a + b} \right) + i\sin \left({2a + b} \right)} \right] + ... \cr&+ \left[ {\cos \left({na + b} \right) + i\sin \left({na + b} \right)} \right] \cr} \)
\(= \beta + \beta \alpha + \beta {\alpha ^2} + ... + \beta {\alpha ^n}\)
\(= \beta \left( {1\alpha + {\alpha ^2} + ... + {\alpha ^n}} \right)\)
\(= \beta {{1 + {\alpha ^{n + 1}}} \over {1 - \alpha }}\) (để ý rằng \(\alpha \ne 1\) do \(\sin {a \over 2} \ne 0\))
\(\eqalign{& = \beta {{1 - \cos \left( {n + 1} \right)a - i\sin \left({n + 1} \right)a} \over {1 - \cos a - i\sin a}} \cr & = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\sin {{n + 1} \over 2}a - i\cos {{n + 1} \over 2}a} \right].\cr& \left[ {\sin {a \over 2} + ic{\rm{os}}{a \over 2}} \right] \cr & = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left({\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right) \cr & = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left({\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right)\left({\cos b + i\sin b} \right) \cr & = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\cos \left({{{na} \over 2} + b} \right) + i\sin \left({{{na} \over 2} + b} \right)} \right] \cr} \)
Từ đó suy ra: \(S = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\cos \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\)
\(T = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\sin \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\)
Chú ý: Trong phần lượng giác ở lớp 11 đã có bài tập tương tự nhưng được giải bằng cách khác.
\(\sin a + \sin 3a + ... + \sin \left( {2n - 1} \right)a = {{{{\sin }^2}na} \over {\sin a}}\)
\({\rm{cos}}a + c{\rm{os}}3a + ... + c{\rm{os}}\left( {2n - 1} \right)a = {{\sin 2na} \over {2\sin a}}\)
Giải chi tiết:
Giải bằng phương pháp tương tự như câu a).
Câu a
Cho các số thực a, b sao cho \({{\sin a} \over 2} \ne 0\)Với mỗi số nguyên \(n \ge 1\), xét các tổng
\(S = c{\rm{os}}b + c{\rm{os}}\left( {a + b} \right) + c{\rm{os}}\left({2a + b} \right) + ... \)
\(+ c{\rm{os}}\left( {na + b} \right)\)
\(S = \sin b + \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left({2a + b} \right) + ... \)
\(+ \sin \left( {na + b} \right)\)
Tính \(S + iT\), từ đó suy ra S và T
Giải chi tiết:
Đặt \(\alpha = c{\rm{os}}a + i\sin a,\beta = \cos b + i\sin b\) thì
\(\eqalign{& S = iT = \left[ {\cos b + i\sin b} \right] \cr&+ \left[ {\cos \left( {a + b} \right) + i\sin \left({a + b} \right)} \right] \cr & + \left[ {\cos \left({2a + b} \right) + i\sin \left({2a + b} \right)} \right] + ... \cr&+ \left[ {\cos \left({na + b} \right) + i\sin \left({na + b} \right)} \right] \cr} \)
\(= \beta + \beta \alpha + \beta {\alpha ^2} + ... + \beta {\alpha ^n}\)
\(= \beta \left( {1\alpha + {\alpha ^2} + ... + {\alpha ^n}} \right)\)
\(= \beta {{1 + {\alpha ^{n + 1}}} \over {1 - \alpha }}\) (để ý rằng \(\alpha \ne 1\) do \(\sin {a \over 2} \ne 0\))
\(\eqalign{& = \beta {{1 - \cos \left( {n + 1} \right)a - i\sin \left({n + 1} \right)a} \over {1 - \cos a - i\sin a}} \cr & = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\sin {{n + 1} \over 2}a - i\cos {{n + 1} \over 2}a} \right].\cr& \left[ {\sin {a \over 2} + ic{\rm{os}}{a \over 2}} \right] \cr & = \beta {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left({\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right) \cr & = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left({\cos {{na} \over 2} + i\sin {{na} \over 2}} \right)\left({\cos b + i\sin b} \right) \cr & = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\left[ {\cos \left({{{na} \over 2} + b} \right) + i\sin \left({{{na} \over 2} + b} \right)} \right] \cr} \)
Từ đó suy ra: \(S = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\cos \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\)
\(T = {{\sin {{n + 1} \over 2}a} \over {\sin {a \over 2}}}\sin \left( {{{na} \over 2} + b} \right)\)
Chú ý: Trong phần lượng giác ở lớp 11 đã có bài tập tương tự nhưng được giải bằng cách khác.
Câu b
Chứng minh rằng với mọi số thực \(a \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)\), với mỗi số nguyên \(n \ge 1\) ta có:\(\sin a + \sin 3a + ... + \sin \left( {2n - 1} \right)a = {{{{\sin }^2}na} \over {\sin a}}\)
\({\rm{cos}}a + c{\rm{os}}3a + ... + c{\rm{os}}\left( {2n - 1} \right)a = {{\sin 2na} \over {2\sin a}}\)
Giải chi tiết:
Giải bằng phương pháp tương tự như câu a).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!