Google
Câu hỏi: Giải các bất phương trình :
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Phương trình viết thành
\(\sqrt {x - 1} > \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 3} .\)
Với điều kiện \(x ≥ 3\), bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương
\(\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left({x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left({x - 2} \right)\left({x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left({4 - x} \right)}^2} > 4\left({x - 2} \right)\left({x - 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}\)
Giải chi tiết:
\(x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).\).
Giải chi tiết:
\(x \in \left( { - \infty, 0} \right) \cup \left({1; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - x + 1} \ge 0.\)
Bất phương trình trở thành \(2{t^2} - t - 1 > 0.\)
Giải chi tiết:
\(x > 1.\)
Giải chi tiết:
Viết bất phương trình về dạng :
\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left({x + 1} \right)}}{x}} - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} > \dfrac{{x - 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.\)
Điều kiện : \(- 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)
Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)
Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với
\(\sqrt {x + 1} - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \) (*)
+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1} < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - 1; 0} \right).\)
+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :
\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có
\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Vậy \(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là
\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left({\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)
Câu a
\(\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 2} > \sqrt {x - 3} \)Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Phương trình viết thành
\(\sqrt {x - 1} > \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 3} .\)
Với điều kiện \(x ≥ 3\), bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương
\(\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left({x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left({x - 2} \right)\left({x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left({4 - x} \right)}^2} > 4\left({x - 2} \right)\left({x - 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}\)
Giải chi tiết:
\(x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).\).
Câu b
\(2x\left( {x - 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1} \)Giải chi tiết:
\(x \in \left( { - \infty, 0} \right) \cup \left({1; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - x + 1} \ge 0.\)
Bất phương trình trở thành \(2{t^2} - t - 1 > 0.\)
Câu c
\(\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x - 1}}} - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{4x}}} > \dfrac{3}{2}\)Giải chi tiết:
\(x > 1.\)
Câu d
\(\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}} > \dfrac{{x - 1}}{x}\)Giải chi tiết:
Viết bất phương trình về dạng :
\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left({x + 1} \right)}}{x}} - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} > \dfrac{{x - 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.\)
Điều kiện : \(- 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)
Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)
Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với
\(\sqrt {x + 1} - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \) (*)
+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1} < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - 1; 0} \right).\)
+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :
\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có
\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Vậy \(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là
\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left({\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!