Google
Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left({4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Phương pháp giải
Tính f'(x) và đánh giá sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left({4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left({4x - 1} \right)} \right]4\) \(= - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left({4x - 1} \right)} \right| \le 8\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left({4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left({\pi + 4 + k2\pi } \right) \left({k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Tính f'(x) và đánh giá sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left({4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left({4x - 1} \right)} \right]4\) \(= - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left({4x - 1} \right)} \right| \le 8\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left({4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left({\pi + 4 + k2\pi } \right) \left({k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)