Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi
\({u_1} = {1 \over 3}\) và \({u_{n + 1}} = {{n + 1} \over {3n}}{u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Câu a​

Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(\forall n \ge 1\)
\({{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}} = {1 \over 3} \times {{{u_n}} \over n}, hay {v_{n + 1}} = {1 \over 3} \times {v_n}\)
Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} = {1 \over 3}\) và công bội bằng \({1 \over 3}\)

Câu b​

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({v_n} = {1 \over 3} \times {1 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) Suy ra \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Câu c​

Tính tổng \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\)
\(\eqalign{
& = {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{11}} \cr 
& = {1 \over 3} \times {{1 - {1 \over {{3^{11}}}}} \over {1 - {1 \over 3}}} = {{{3^{11}} - 1} \over {{{2.3}^{11}}}}={{88573} \over {177147}} \cr} \)