Câu 3.79 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi
\({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 6{u_n} - 1\)  với mọi \(n \ge 1.\)

Câu a​

Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_n} - {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({u_{n + 1}} - {1 \over 5} = 6\left( {{u_n} - {1 \over 5}} \right)\) với mọi \(n \ge 1,\) hay
\(\forall n \ge 1,{v_{n + 1}} = 6{v_n}\)
Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - {1 \over 5} = 1 - {1 \over 5} = {4 \over 5}\) và công bội \(q = 6.\)

Câu b​

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).
Lời giải chi tiết:
Từ kết quả phần a) suy ra với mọi \(n \ge 1\)
\(\eqalign{
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{{{4.6}^{n - 1}}} \over 5}; \cr 
& {u_n} = {v_n} + {1 \over 5} = {{{{4.6}^{n - 1}} + 1} \over 5}. \cr} \)

Câu c​

Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\).
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \({T_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\) và \({S_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(({v_n})\). Ta có
\({T_{10}} = {S_{10}} + 10 \times {1 \over 5} = {4 \over 5} \times {{1 - {6^{10}}} \over {1 - 6}} + 2\)\(= 9674590.\)