Google
Câu hỏi: Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi
\({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi \(n \ge 1.\)
Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Ta sẽ chứng minh
\({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1} (1)\)
Với mọi \(N \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(N = 1\) , ta có \({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\) Như vậy, (1) đúng khi \(N = 1.\)
Giả sử đã có (1) đúng khi \(N = k, k \in {N^ * },\) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(N = k + 1.\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta có
\({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right) \\+ \left({{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right) \)
\(= {u_{k + 2}} - {u_1}.\)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(N \ge 1.\)
Lời giải chi tiết:
Từ định nghĩa dãy số \(({v_n})\) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({v_n} = n\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_{n + 1}} - {v_n} = \left( {n + 1} \right) - n = 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 1.
\({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi \(n \ge 1.\)
Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)
Câu a
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) bằng \({u_{N + 1}} - {u_1}.\)Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Ta sẽ chứng minh
\({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1} (1)\)
Với mọi \(N \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(N = 1\) , ta có \({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\) Như vậy, (1) đúng khi \(N = 1.\)
Giả sử đã có (1) đúng khi \(N = k, k \in {N^ * },\) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(N = k + 1.\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta có
\({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right) \\+ \left({{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right) \)
\(= {u_{k + 2}} - {u_1}.\)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(N \ge 1.\)
Câu b
Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.Lời giải chi tiết:
Từ định nghĩa dãy số \(({v_n})\) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({v_n} = n\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_{n + 1}} - {v_n} = \left( {n + 1} \right) - n = 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 1.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!