Câu 3.63 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = {x^2} + x - 2\) có đồ thị là parabol (P), hàm số \(y = 3x + k\) có đồ thị là đường thẳng (d).

Câu a​

Hãy biện luận số nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 = 3x + k,\) từ đó suy ra số điểm chung của parabol (P) và đường thẳng (d).
Giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + x - 2 = 3x + k\) tương đương với phương trình
\({x^2} - 2x - \left( {2 + k} \right) = 0\)             (1)
Phương trình bậc hai (1) có biệt thức thu gọn \(\Delta ' = k + 3.\) Do đó :
• Nếu k < -3 thì ∆’ < 0, phương trình (1) vô nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nào.
• Nếu k = -3 thì ∆’ = 0, phương trình (1) có một nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.
• Nếu k > -3 thì ∆’ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung phân biệt.

Câu b​

Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung ?
Giải chi tiết:
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là
\(- \left( {2 + k} \right) < 0,\) hay \(k >  - 2\)

Câu c​

Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở về cùng một phía của trục tung. Khi đó hai điểm ấy nằm ở phía nào của trục tung ?
Giải chi tiết:
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở cùng một phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Nếu gọi hai nghiệm ấy là \(x_1\) và \(x_2\) thì \(x_1 + x_2 = 2 > 0\). Điều đó chứng tỏ rằng khi hai nghiệm cùng dấu thì chúng có dấu dương, nghĩa là hai giao điểm nằm ở bên phải trục tung. Muốn vậy, ta phải có:
\(\Delta ' = k + 3 > 0\) và \(- \left( {2 + k} \right) > 0\) tức là \(- 3 < k <  - 2\).