Câu 2.92 trang 85 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

Câu a​

\(\log _2^2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\log _2}{(x - 1)^3} = 7\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \(x > 1\)
Đặt \(y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\), dẫn đến phương trình
\(4{y^2} + 3y - 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1 \hfill \cr 
y = {{ - 7} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}\left({x - 1} \right) = 1 \hfill \cr 
{\log _2}\left({x - 1} \right) = {{ - 7} \over 4} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr 
x = 1 + {2^{{{ - 7} \over 4}}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = 3\) và \(x = 1 + {2^{ - {7 \over 4}}}\)

Câu b​

\({\log _{4x}}8 - {\log _{2x}}2 + {\log _9}243 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0; x \ne {1 \over 2}; x \ne {1 \over 4}\). Ta có
\({\log _{4x}}8 - {\log _{2x}}2 + {\log _9}243 = 0\)
\(\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_8}4x}} - {1 \over {{{\log }_2}2x}} + {5 \over 2} = 0\)
Đặt \(t = {\log _2}x(t \ne  - 1; t \ne  - 2)\), ta có phương trình
\({3 \over {2 + t}} - {1 \over {1 + t}} + {5 \over 2} = 0\)
Quy đồng mẫu và rút gọn dẫn đến \(5{t^2} + 19t + 12 = 0\)
Phương trình này có hai nghiệm \(t =  - 3\)  và \(t =  - {4 \over 5}\)
Đối chiếu với điều kiện các giá trị tìm được đều thỏa mãn. Dẫn đến \(x = {2^{ - {5 \over 4}}}\) và \(x = {2^{ - 3}}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {2^{ - {5 \over 4}}}\) và \(x = {2^{ - 3}}\)

Câu c​

\(3\sqrt {{{\log }_3}x}  - {\log _3}3x - 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_3}x} (t \ge 0)\) dẫn đến phương trình
\({t^2} - 3t + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_3}x} = 1 \hfill \cr 
\sqrt {{{\log }_3}x} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr 
x = 81 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3\) và \(x = 81\)