Google
Câu hỏi: Cắt hình nón $(N)$ đỉnh $S$ cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2 a \sqrt{2}$. Biết $\mathrm{BC}$ là một dây cung đường tròn đáy của hình nón sao cho mặt phẳng $(S B C)$ tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc $60^{\circ}$. Tính diện tích tam giác $S B C$.
A. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
C. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
Theo đề bài ta có tam giác $S A B$ vuông cân tại $S$ với $A B=2 a \sqrt{2}$.
$S A=S B=S C=2 a, S O=O B=a \sqrt{2}$.
Góc giữa $(S B C)$ và đáy là góc $S M O$ bằng $60^{\circ}$.
Trong tam giác vuông $O S M$ có: $S M=\dfrac{s O}{\sin 60^0}=\dfrac{2 a \sqrt{6}}{3}, O M=\dfrac{s O}{\tan 60^0}=\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
Trong tam giác vuông $O M B$ có: $B M=\sqrt{O B^2-O M^2}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}$.
Diện tích tam giác $S B C$ là: $S=B M \cdot S M=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{2 a \sqrt{6}}{3}=\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$. Chọn $C$
A. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
C. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
$S A=S B=S C=2 a, S O=O B=a \sqrt{2}$.
Góc giữa $(S B C)$ và đáy là góc $S M O$ bằng $60^{\circ}$.
Trong tam giác vuông $O S M$ có: $S M=\dfrac{s O}{\sin 60^0}=\dfrac{2 a \sqrt{6}}{3}, O M=\dfrac{s O}{\tan 60^0}=\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
Trong tam giác vuông $O M B$ có: $B M=\sqrt{O B^2-O M^2}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}$.
Diện tích tam giác $S B C$ là: $S=B M \cdot S M=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{2 a \sqrt{6}}{3}=\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$. Chọn $C$
Đáp án C.
