Google
Câu hỏi: Cắt hình nón $(\mathcal{N})$ đỉnh $S$ cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2 a \sqrt{2}$. Biết $B C$ là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng $(S B C)$ tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc $60^{\circ}$. Tính diện tích tam giác $S B C$.
A. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
C. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$.
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra $r=O B=O A=S O=a \sqrt{2}$. $O I \perp B C, S I Ђ$ nên góc giữa $(S B C)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{S I O}=60^{\circ}$.
Trong tam giác $S I O$ vuông tại $O$ có $S I=\dfrac{S O}{\sin \widehat{S I O}}=\dfrac{2 \sqrt{6}}{3} a$ và $O I=S I \cdot \cos \widehat{S I O}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} a$.
Mà $B C=2 \sqrt{r^2-O I^2}=\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} a$
Diện tích tam giác $S B C$ là $S=\dfrac{1}{2} S I . B C=\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{2 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
C. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{9}$.
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra $r=O B=O A=S O=a \sqrt{2}$. $O I \perp B C, S I Ђ$ nên góc giữa $(S B C)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{S I O}=60^{\circ}$.
Trong tam giác $S I O$ vuông tại $O$ có $S I=\dfrac{S O}{\sin \widehat{S I O}}=\dfrac{2 \sqrt{6}}{3} a$ và $O I=S I \cdot \cos \widehat{S I O}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} a$.
Mà $B C=2 \sqrt{r^2-O I^2}=\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} a$
Diện tích tam giác $S B C$ là $S=\dfrac{1}{2} S I . B C=\dfrac{4 a^2 \sqrt{2}}{3}$.
Đáp án C.
