Google
Câu hỏi: Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Gọi $BC$ là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với mặt đáy một góc bằng $60{}^\circ $. Tính diện tích tam giác $SBC$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{2}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$.
Giả sử thiết diện là tam giác $SAB$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow \widehat{SMO}=60{}^\circ $.
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow SO=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tính được $SM=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}, OM=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ và $BC=2MB=2\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3} a}{3}$.
Diện tích tam giác $SBC$ là $S=\dfrac{1}{2}SM.BC=\dfrac{\sqrt{2} {{a}^{2}}}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}{{a}^{2}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow \widehat{SMO}=60{}^\circ $.
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow SO=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tính được $SM=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}, OM=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ và $BC=2MB=2\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3} a}{3}$.
Diện tích tam giác $SBC$ là $S=\dfrac{1}{2}SM.BC=\dfrac{\sqrt{2} {{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án B.
