Google
Câu hỏi: Cắt hình nón $\left( N \right)$ đỉnh $S$ cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2a\sqrt{2}$. Biết $BC$ là một dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với mặt phẳng đáy nón một góc ${{60}^{0}}$. Tính diện tích tam giác $SBC$.
A. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
Gọi thiết diện là tam giác vuông $SAB$, khi đó $AB=2a\sqrt{2}$ nên hình nón có bán kính $r=a\sqrt{2}$ và chiều cao $SO=a\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $BC$.
Khi đó $BC\bot \left( SOH \right)$ nên $\widehat{SHO}=\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)=60{}^\circ $.
Suy ra $OH=SO.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$, do đó $BC=2BH=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Lại có $SH=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$ nên ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}.BC.SH=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
B. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $BC$.
Khi đó $BC\bot \left( SOH \right)$ nên $\widehat{SHO}=\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)=60{}^\circ $.
Suy ra $OH=SO.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$, do đó $BC=2BH=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Lại có $SH=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$ nên ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}.BC.SH=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án D.