Google
Câu hỏi: Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a là:
A. $\dfrac{3a\sqrt{6}}{4}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)$.
Gọi M là trung điểm của SA.
Trong $\left( SOA \right)$ kẻ $IM\bot SA\left( I\in SO \right)$ ta có $\text{IS}=IA$.
Lại có $I\in SO\Rightarrow IA=IB=IC\Rightarrow IA=IB=IC=IS\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Tam giác ABC đều cạnh
$\Rightarrow A\text{E}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}A\text{E}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác vuông SOA: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Dễ thấy $\Delta SOA\sim \Delta \text{SMI }\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{SI}{SA}=\dfrac{SM}{SO}\Rightarrow SI=\dfrac{SA.SM}{SO}=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Vậy $R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{6}}{4}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)$.
Gọi M là trung điểm của SA.
Trong $\left( SOA \right)$ kẻ $IM\bot SA\left( I\in SO \right)$ ta có $\text{IS}=IA$.
Lại có $I\in SO\Rightarrow IA=IB=IC\Rightarrow IA=IB=IC=IS\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Tam giác ABC đều cạnh
$\Rightarrow A\text{E}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}A\text{E}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác vuông SOA: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Dễ thấy $\Delta SOA\sim \Delta \text{SMI }\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{SI}{SA}=\dfrac{SM}{SO}\Rightarrow SI=\dfrac{SA.SM}{SO}=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Vậy $R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án C.