Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC,\) các đường trung tuyến \(AD, BE, CF\) cắt nhau ở \(G.\) Gọi \(H\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(D, I\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(E, K\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(F.\) Tìm các điểm đối xứng với \(A,\) với \(B,\) với \(C\) qua \(G.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
+) Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
+) Ta có: \(GD = DH\) (tính chất đối xứng tâm)
\(⇒ GH = 2GD (1)\)
\(GA = 2GD\) ( tính chất đường trung tuyến của tam giác) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(GA = GH\)
Nên điểm đối xứng với điểm \(A\) qua \(G\) là điểm \(H\)
+) \(GE = EI\) (tính chất đối xứng tâm)
\(⇒ GI = 2GE (3)\)
\(GB = 2GE \) (tính chất đường trung tuyến của tam giác) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(GB = GI\)
Nên điểm đối xứng với điểm \(B\) qua \(G\) là điểm \(I\)
+) \(GF = FK\) (tính chất đối xứng tâm)
\(⇒ GK = 2GF (5)\)
\(GC = 2GF\) (tính chất đường trung tuyến của tam giác) \((6)\)
Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(GC = GK\)
Nên điểm đối xứng với điểm \(C\) qua \(G\) là điểm \(K\)
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
+) Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
+) Ta có: \(GD = DH\) (tính chất đối xứng tâm)
\(⇒ GH = 2GD (1)\)
\(GA = 2GD\) ( tính chất đường trung tuyến của tam giác) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(GA = GH\)
Nên điểm đối xứng với điểm \(A\) qua \(G\) là điểm \(H\)
+) \(GE = EI\) (tính chất đối xứng tâm)
\(⇒ GI = 2GE (3)\)
\(GB = 2GE \) (tính chất đường trung tuyến của tam giác) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(GB = GI\)
Nên điểm đối xứng với điểm \(B\) qua \(G\) là điểm \(I\)
+) \(GF = FK\) (tính chất đối xứng tâm)
\(⇒ GK = 2GF (5)\)
\(GC = 2GF\) (tính chất đường trung tuyến của tam giác) \((6)\)
Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(GC = GK\)
Nên điểm đối xứng với điểm \(C\) qua \(G\) là điểm \(K\)