Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) \(K\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(M.\) Tính số đo góc \(ABK,\) \(ACK.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Ta có \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua tâm \(M\) nên \(MK = MH\)
Xét tứ giác \(BHCK\) ta có:
\(BM = MC\) (do M là trung điểm của BC)
\(MK = MH\) (chứng minh trên)
Suy ra: Tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Suy ra: \(KB // CH, KC // BH\)
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên \( CH ⊥ AB\) và \(BH ⊥ AC\)
Suy ra:
\(KB ⊥ AB\) nên \(\widehat {KBA} = {90^0}\)
\(CK ⊥ AC \) nên \(\widehat {KCA} = {90^0}\)
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Ta có \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua tâm \(M\) nên \(MK = MH\)
Xét tứ giác \(BHCK\) ta có:
\(BM = MC\) (do M là trung điểm của BC)
\(MK = MH\) (chứng minh trên)
Suy ra: Tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Suy ra: \(KB // CH, KC // BH\)
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên \( CH ⊥ AB\) và \(BH ⊥ AC\)
Suy ra:
\(KB ⊥ AB\) nên \(\widehat {KBA} = {90^0}\)
\(CK ⊥ AC \) nên \(\widehat {KCA} = {90^0}\)