Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC,\) \(D\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là trung điểm của \(AC.\) Gọi \(O\) là một điểm bất kì nằm trong tam giác \(ABC.\) Vẽ điểm \(M\) đối xứng với \(O\) qua \(D,\) vẽ điểm \(N\) đối xứng với \(O\) qua \(E.\) Chứng minh rằng \(MNCB\) là hình bình hành.
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \(AOBM:\)
\(DA = DB\) (do D là trung điểm của AB)
\(DO = DM\) (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(AOBM\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(⇒ BM // AO\) và \(BM = AO (1)\)
Xét tứ giác \(AOCN:\)
\(EA = EC\) (do E là trung điểm của AC)
\(EO = EN\) (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(AOCN\) là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(⇒ CN // AO\) và \(CN = AO (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BM // CN\) và \(BM = CN\)
Vậy : Tứ giác \(BMNC\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Sử dụng kiến thức:
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \(AOBM:\)
\(DA = DB\) (do D là trung điểm của AB)
\(DO = DM\) (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(AOBM\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(⇒ BM // AO\) và \(BM = AO (1)\)
Xét tứ giác \(AOCN:\)
\(EA = EC\) (do E là trung điểm của AC)
\(EO = EN\) (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(AOCN\) là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(⇒ CN // AO\) và \(CN = AO (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BM // CN\) và \(BM = CN\)
Vậy : Tứ giác \(BMNC\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)