Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) điểm \(D\) thuộc cạnh \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(AB,\) gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(AC.\) Chứng minh rằng các điểm \(E\) và \(F\) đối xứng nhau qua điểm \(A.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Lời giải chi tiết
Vì \(E\) đối xứng với \(D\) qua \(AB\)
\(⇒ AB\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(DE\)
\(⇒ AD = AE\) (tính chất đường trung trực)
Nên \(∆ ADE\) cân tại \(A\)
Ta có \(∆ ADE\) cân tại \(A\) có AB là đường trung trực
Suy ra: \(AB\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}\)
Vì \(F\) đối xứng với \(D\) qua \(AC\)
\(⇒ AC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(DF\)
\(⇒ AD = AF\) ( tính chất đường trung trực)
Nên \(∆ ADF\) cân tại \(A\)
Ta có \(∆ ADF\) cân tại \(A\) có AC là đường trung trực
Suy ra: \(AC\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {DAF}\)
\( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\)
\(\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}}\)\( = {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\)
\(= 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right) = {2.90^0} = {180^0}\)
\(⇒ E, A, F\) thẳng hàng có \(AE = AF = AD\)
Nên \(A\) là trung điểm của \(EF\) hay điểm \(E\) đối xứng với \(F\) qua điểm \(A.\)
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Lời giải chi tiết
Vì \(E\) đối xứng với \(D\) qua \(AB\)
\(⇒ AB\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(DE\)
\(⇒ AD = AE\) (tính chất đường trung trực)
Nên \(∆ ADE\) cân tại \(A\)
Ta có \(∆ ADE\) cân tại \(A\) có AB là đường trung trực
Suy ra: \(AB\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}\)
Vì \(F\) đối xứng với \(D\) qua \(AC\)
\(⇒ AC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(DF\)
\(⇒ AD = AF\) ( tính chất đường trung trực)
Nên \(∆ ADF\) cân tại \(A\)
Ta có \(∆ ADF\) cân tại \(A\) có AC là đường trung trực
Suy ra: \(AC\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {DAF}\)
\( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\)
\(\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}}\)\( = {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\)
\(= 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right) = {2.90^0} = {180^0}\)
\(⇒ E, A, F\) thẳng hàng có \(AE = AF = AD\)
Nên \(A\) là trung điểm của \(EF\) hay điểm \(E\) đối xứng với \(F\) qua điểm \(A.\)