Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC,\) các đường trung tuyến \(BM, CN.\) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(M,\) gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(N.\) Chứng minh rằng điểm \(D\) đối xứng với điểm \(E\) qua điểm \(A.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối song song.
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \(ABCD\) ta có:
\(MA = MC \) (do BM là đường trung tuyến của tam giác ABC)
\(MB = MD \) (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
\(⇒ AD // BC\) và \(AD = BC (1)\)
Xét tứ giác \(ACBE:\)
\(AN = NB \) (do CN là đường trung tuyến của tam giác ABC)
\(NC = NE\) ( định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(ACBE\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
\(⇒ AE // BC\) và \(AE = BC (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(A, D, E\) thẳng hàng và \(AD = AE\)
Nên \(A\) là trung điểm của \(DE\) hay điểm \(D\) đối xứng với điểm \(E\) qua điểm \(A.\)
Sử dụng kiến thức:
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối song song.
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \(ABCD\) ta có:
\(MA = MC \) (do BM là đường trung tuyến của tam giác ABC)
\(MB = MD \) (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
\(⇒ AD // BC\) và \(AD = BC (1)\)
Xét tứ giác \(ACBE:\)
\(AN = NB \) (do CN là đường trung tuyến của tam giác ABC)
\(NC = NE\) ( định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác \(ACBE\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
\(⇒ AE // BC\) và \(AE = BC (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(A, D, E\) thẳng hàng và \(AD = AE\)
Nên \(A\) là trung điểm của \(DE\) hay điểm \(D\) đối xứng với điểm \(E\) qua điểm \(A.\)