Google
Câu hỏi: Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \(u_n=u_1+(n-1)d\).
Lời giải chi tiết
Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d (1) \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 (2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Thay \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
3{\left({9 - d} \right)^2} + 6d\left({9 - d} \right) + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\)
Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)
Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5,9,13,17, ...\)
Cách khác:
Gọi ba số hạng đầu của CSC lần lượt là: \(x - d; x; x + d\) với \(d > 0\).
Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - d + x + x + d = 27\\{\left( {x - d} \right)^2} + {x^2} + {\left({x + d} \right)^2} = 275\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 27\\{x^2} - 2dx + {d^2} + {x^2} + 2dx + {d^2} = 275\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\3{x^2} + 2{d^2} = 275\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\{d^2} = 16\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\d = 4\left( {d > 0} \right)\end{array} \right.\)
Số hạng đầu là \({u_1} = x - d = 9 - 4 = 5\).
Vậy CSC cần tìm có \({u_1} = 5, d = 4\).
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \(u_n=u_1+(n-1)d\).
Lời giải chi tiết
Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d (1) \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 (2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Thay \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
3{\left({9 - d} \right)^2} + 6d\left({9 - d} \right) + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\)
Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)
Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5,9,13,17, ...\)
Cách khác:
Gọi ba số hạng đầu của CSC lần lượt là: \(x - d; x; x + d\) với \(d > 0\).
Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - d + x + x + d = 27\\{\left( {x - d} \right)^2} + {x^2} + {\left({x + d} \right)^2} = 275\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 27\\{x^2} - 2dx + {d^2} + {x^2} + 2dx + {d^2} = 275\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\3{x^2} + 2{d^2} = 275\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\{d^2} = 16\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\d = 4\left( {d > 0} \right)\end{array} \right.\)
Số hạng đầu là \({u_1} = x - d = 9 - 4 = 5\).
Vậy CSC cần tìm có \({u_1} = 5, d = 4\).