Google
Câu hỏi: Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng: \(a\sin x + b \cos x = c\)
Phương pháp giải
Nêu cách giải phương trình thuần nhất đối với sin và cos.
Lời giải chi tiết
_ Phương trình lượng giác dạng cơ bản:
\(\eqalign{
& \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \alpha + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.; k \in \mathbb Z \cr
& \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha, k \in \mathbb Z \cr
& \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb Z \cr
& \cot x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb Z \cr} \)
Hoặc:
\(\eqalign{
& \sin x = a \left({\left| a \right| \le 1} \right)\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin a + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - \arcsin a + k2\pi \hfill \cr} \right.; k \in \mathbb Z \cr
& \cos x = a \left({\left| a \right| \le 1} \right)\Leftrightarrow x = \pm \arccos a, k \in \mathbb Z \cr
& \tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi, k \in \mathbb Z \cr
& \cot x = a \Leftrightarrow x = {\rm{ar}}c\cot a + k\pi, k \in \mathbb Z \cr} \)
_ Phương trình dạng : \(a \sin x + b \cos x = c\) (*)
Cách giải:
+ Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(Pt \Leftrightarrow {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}(**)\)
Vì \({\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left({{b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt:
\(\cos \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
+ Khi đó phương trình (**)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin x.cos\alpha + \cos x.\sin \alpha = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sin (x + \alpha) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr} \)
Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải.
Nêu cách giải phương trình thuần nhất đối với sin và cos.
Lời giải chi tiết
_ Phương trình lượng giác dạng cơ bản:
\(\eqalign{
& \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \alpha + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.; k \in \mathbb Z \cr
& \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha, k \in \mathbb Z \cr
& \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb Z \cr
& \cot x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb Z \cr} \)
Hoặc:
\(\eqalign{
& \sin x = a \left({\left| a \right| \le 1} \right)\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin a + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - \arcsin a + k2\pi \hfill \cr} \right.; k \in \mathbb Z \cr
& \cos x = a \left({\left| a \right| \le 1} \right)\Leftrightarrow x = \pm \arccos a, k \in \mathbb Z \cr
& \tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi, k \in \mathbb Z \cr
& \cot x = a \Leftrightarrow x = {\rm{ar}}c\cot a + k\pi, k \in \mathbb Z \cr} \)
_ Phương trình dạng : \(a \sin x + b \cos x = c\) (*)
Cách giải:
+ Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(Pt \Leftrightarrow {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}(**)\)
Vì \({\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left({{b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt:
\(\cos \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
+ Khi đó phương trình (**)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin x.cos\alpha + \cos x.\sin \alpha = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sin (x + \alpha) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr} \)
Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải.