Google
Câu hỏi: Cho hàm số: \(f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)
Hãy xác định các số \(a, b, c, d\), biết rằng đồ thị hàm số (C) của hàm số \(y = f(x)\) đi qua các điểm \((-1, -3), (1, -1)\) và \(f'({1 \over 3}) = 0\)
Hãy xác định các số \(a, b, c, d\), biết rằng đồ thị hàm số (C) của hàm số \(y = f(x)\) đi qua các điểm \((-1, -3), (1, -1)\) và \(f'({1 \over 3}) = 0\)
Phương pháp giải
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = f\left({{x_0}} \right)\).
Tính f'(x) và sử dụng giả thiết \(f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\)
Suy ra hệ ba phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
(C): \(y = f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) \(⇒ f’(x)= 3x^2+ 2bx +c\)
+) Đồ thị (C) đi qua hai điểm \(A (-1, -3), B(1, -1)\) nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình hàm số ta có hệ:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- 3 = {(- 1)^3} + b{(- 1)^2} + c(- 1) + d \hfill \cr
- 1 = {1^3} + b{(1)^2} + c. 1 + d \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b - c + d = -2 (1) \hfill \cr
b + c + d = - 2 (2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Mặt khác :
\(\eqalign{
& f'({1 \over 3}) = 0 \Rightarrow 3{({1 \over 3})^2} + 2b({1 \over 3}) + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2b + 3c = - 1 (3) \cr} \)
+) Giải hệ phương trình (1), (2) và (3) ta được:
\(\left\{ \matrix{
b = - {1 \over 2} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr
d = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = f\left({{x_0}} \right)\).
Tính f'(x) và sử dụng giả thiết \(f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\)
Suy ra hệ ba phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
(C): \(y = f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) \(⇒ f’(x)= 3x^2+ 2bx +c\)
+) Đồ thị (C) đi qua hai điểm \(A (-1, -3), B(1, -1)\) nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình hàm số ta có hệ:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
- 3 = {(- 1)^3} + b{(- 1)^2} + c(- 1) + d \hfill \cr
- 1 = {1^3} + b{(1)^2} + c. 1 + d \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b - c + d = -2 (1) \hfill \cr
b + c + d = - 2 (2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Mặt khác :
\(\eqalign{
& f'({1 \over 3}) = 0 \Rightarrow 3{({1 \over 3})^2} + 2b({1 \over 3}) + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2b + 3c = - 1 (3) \cr} \)
+) Giải hệ phương trình (1), (2) và (3) ta được:
\(\left\{ \matrix{
b = - {1 \over 2} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr
d = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)