Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Gọi \(CD\) là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \(( C ∈ (O),\)\( D ∈ (O’)).\)
\(a) \) Tính số đo góc \(CAD.\)
\(b) \) Tính độ dài \(CD\) biết \( OA = 4,5cm,\)\( O’A = 2cm.\)
\(a) \) Tính số đo góc \(CAD.\)
\(b) \) Tính độ dài \(CD\) biết \( OA = 4,5cm,\)\( O’A = 2cm.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(CD\) tại \(M\)
Trong đường tròn \((O)\) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MA = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Trong đường tròn \((O’)\) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MA = MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(MA = MC = MD = \displaystyle {1 \over 2}CD\)
Tam giác \(ACD\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh \(CD\) và bằng nửa cạnh \(CD\) nên tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\)
Suy ra: \(\widehat {CAD} = 90^\circ \)
b) Trong đường tròn \((O)\) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {CMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Trong đường tròn \((O’)\) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MO’\) là tia phân giác của \(\widehat {DMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(\widehat {CMA}\) và \(\widehat {DMA}\) là 2 góc kề bù
Suy ra: \(MO ⊥ MO’\) (tính chất hai góc kề bù)
Tam giác \(MOO’\) vuông tại \(M\) có \(MA ⊥ OO’\) ( tính chất tiếp tuyến)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(MA^2= OA.O’A = 4,5.2 = 9 \)\(⇒ MA = 3 (cm)\)
Mà \(MA = \displaystyle{1 \over 2}CD \)\(⇒ CD = 2.MA = 2.3 = 6 (cm)\)
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(CD\) tại \(M\)
Trong đường tròn \((O)\) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MA = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Trong đường tròn \((O’)\) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MA = MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(MA = MC = MD = \displaystyle {1 \over 2}CD\)
Tam giác \(ACD\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh \(CD\) và bằng nửa cạnh \(CD\) nên tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\)
Suy ra: \(\widehat {CAD} = 90^\circ \)
b) Trong đường tròn \((O)\) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {CMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Trong đường tròn \((O’)\) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:
\(MO’\) là tia phân giác của \(\widehat {DMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(\widehat {CMA}\) và \(\widehat {DMA}\) là 2 góc kề bù
Suy ra: \(MO ⊥ MO’\) (tính chất hai góc kề bù)
Tam giác \(MOO’\) vuông tại \(M\) có \(MA ⊥ OO’\) ( tính chất tiếp tuyến)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(MA^2= OA.O’A = 4,5.2 = 9 \)\(⇒ MA = 3 (cm)\)
Mà \(MA = \displaystyle{1 \over 2}CD \)\(⇒ CD = 2.MA = 2.3 = 6 (cm)\)