Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((O; 3cm)\) và đường tròn \((O’; 1cm)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Vẽ hai bán kính \(OB\) và \(O’C\) song song với nhau thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ \(OO’.\)
\(a)\) Tính số đo góc \(BAC.\)
\(b)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO’.\) Tính độ dài \(OI.\)
\(a)\) Tính số đo góc \(BAC.\)
\(b)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO’.\) Tính độ dài \(OI.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(OB // O’C (gt)\)
Suy ra: \(\widehat {AOB} + \widehat {AO'C} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
Xét đường tròn (O) ta có: \(OA = OB ( = 3cm)\)
\(⇒\) Tam giác \(AOB\) cân tại \(O.\)
\(⇒\widehat {BAO}=\widehat {OBA}\) và \(\widehat {BAO}+\widehat {OBA}+\widehat {BOA}=180^0\) (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: \(\widehat {BAO} = \displaystyle {{180^\circ - \widehat {AOB}} \over 2}\)
Xét đường tròn (O') ta có: \(O'A = O'C ( = 1cm)\)
\(⇒\) Tam giác \(AO'C\) cân tại \(O'\)
\(⇒\widehat {CAO'}=\widehat {O'CA}\) và \(\widehat {CAO'}+\widehat {O'CA}+\widehat {CO'A}=180^0\) (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: \(\widehat {CAO'} = \displaystyle{{180^\circ - \widehat {AO'C}} \over 2}\)
Ta có: \(\displaystyle\widehat {BAO} + \widehat {CAO'}\)\(\displaystyle = {{180^\circ - \widehat {AOB}} \over 2} + {{180^\circ - \widehat {AO'C}} \over 2}\)
\(\displaystyle = {{180^\circ + 180^\circ - (\widehat {AOB} + \widehat {AO'C})} \over 2}\)
\(\displaystyle = {{180^\circ + 180^\circ - 180^\circ } \over 2} = 90^\circ \)
Lại có: \(\widehat {BAO} + \widehat {BAC} + \widehat {CAO'} = 180^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {BAC} = 180^\circ - (\widehat {BAO} + \widehat {CAO'})\)
\( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
\(b)\) Trong tam giác \(IBO,\) ta có: \(OB // O'C\)
Suy ra: \(\displaystyle{{IO'} \over {IO}} = {{O'C} \over {OB}}\) ( hệ quả định lí Ta-lét)
Suy ra: \(\displaystyle{{IO'} \over {IO}} = {1 \over 3} \Rightarrow {{IO - IO'} \over {IO}}\)
\(\displaystyle = {{3 - 1} \over 3} \Rightarrow {{OO'} \over {IO}} = {2 \over 3}\)
Mà \(OO’ = OA + O’A = 3 + 1 = 4 (cm)\)
Suy ra: \(\displaystyle{4 \over {IO}} = {2 \over 3} \)\(\displaystyle \Rightarrow IO = {{4.3} \over 2} = 6 (cm).\)
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(OB // O’C (gt)\)
Suy ra: \(\widehat {AOB} + \widehat {AO'C} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
Xét đường tròn (O) ta có: \(OA = OB ( = 3cm)\)
\(⇒\) Tam giác \(AOB\) cân tại \(O.\)
\(⇒\widehat {BAO}=\widehat {OBA}\) và \(\widehat {BAO}+\widehat {OBA}+\widehat {BOA}=180^0\) (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: \(\widehat {BAO} = \displaystyle {{180^\circ - \widehat {AOB}} \over 2}\)
Xét đường tròn (O') ta có: \(O'A = O'C ( = 1cm)\)
\(⇒\) Tam giác \(AO'C\) cân tại \(O'\)
\(⇒\widehat {CAO'}=\widehat {O'CA}\) và \(\widehat {CAO'}+\widehat {O'CA}+\widehat {CO'A}=180^0\) (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: \(\widehat {CAO'} = \displaystyle{{180^\circ - \widehat {AO'C}} \over 2}\)
Ta có: \(\displaystyle\widehat {BAO} + \widehat {CAO'}\)\(\displaystyle = {{180^\circ - \widehat {AOB}} \over 2} + {{180^\circ - \widehat {AO'C}} \over 2}\)
\(\displaystyle = {{180^\circ + 180^\circ - (\widehat {AOB} + \widehat {AO'C})} \over 2}\)
\(\displaystyle = {{180^\circ + 180^\circ - 180^\circ } \over 2} = 90^\circ \)
Lại có: \(\widehat {BAO} + \widehat {BAC} + \widehat {CAO'} = 180^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {BAC} = 180^\circ - (\widehat {BAO} + \widehat {CAO'})\)
\( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
\(b)\) Trong tam giác \(IBO,\) ta có: \(OB // O'C\)
Suy ra: \(\displaystyle{{IO'} \over {IO}} = {{O'C} \over {OB}}\) ( hệ quả định lí Ta-lét)
Suy ra: \(\displaystyle{{IO'} \over {IO}} = {1 \over 3} \Rightarrow {{IO - IO'} \over {IO}}\)
\(\displaystyle = {{3 - 1} \over 3} \Rightarrow {{OO'} \over {IO}} = {2 \over 3}\)
Mà \(OO’ = OA + O’A = 3 + 1 = 4 (cm)\)
Suy ra: \(\displaystyle{4 \over {IO}} = {2 \over 3} \)\(\displaystyle \Rightarrow IO = {{4.3} \over 2} = 6 (cm).\)