Bài 72 trang 134 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Tìm tọa độ hình chiếu (vuông góc) của điểm \({M_0}(1; - 1; 2)\) trên mặt phẳng
\(\left( \alpha  \right):2x - y + 2z + 12 = 0.\)
Giải chi tiết:
Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0​(1 ; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha \)) là :
\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 - t \hfill \cr  z = 2 + 2t. \hfill \cr}  \right.\)
Gọi M'0​(x; y ; z) là hình chiếu của M0​ trên mp(\(\alpha \)). Toạ độ của M'0​ thoả mãn hệ :
\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 - 2t \hfill \cr  z = 2 + 2t \hfill \cr  2x - y + 2z + 12 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow t =  - {{19} \over 9}.\)
Vậy  \(M{'_0} = \left( { - {{29} \over 9};{{10} \over 9}; - {{20} \over 9}} \right).\)

Câu b​

Cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1). Tìm tọa độ hình chiếu của D trêm mặt phẳng (ABC).
Giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} \) = (-1; 2 ; -3), \(\overrightarrow {AC} \) = (-3; 4 ; 1)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)= (14; 10; 2).
Lấy một vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n \)= (7; 5 ; 1), ta có phương trình của mặt phẳng (ABC):
7x + 5y + z - 37 = 0.
Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC) có phương trình :
\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 7t \hfill \cr  y = 1 + 5t \hfill \cr  z = 1 + t. \hfill \cr}  \right.\)
Toạ độ hình chiếu D’ của D trên mp(ABC) thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 7t \hfill \cr  y = 1 + 5t \hfill \cr  z = 1 + t \hfill \cr  7x + 5y + z - 37 = 0. \hfill \cr}  \right.\)
Suy ra D’ = \(\left( {{{81} \over {25}};{{13} \over 5};{{13} \over {25}}} \right).\)

Câu c​

Cho ba điểm A(1; 1; 2), B(-2; 1;-1), C(2;-2;-1).  Tìm tọa độ hình chiếu của gốc O trên mặt mp(ABC).
Giải chi tiết:
Tương tự ta có hình chiếu của O trên (ABC) là:
\(\left( {{3 \over {34}};{2 \over {17}}; - {3 \over {34}}} \right).\)