Bài 61 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d : \(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 3 + t \hfill \cr}  \right.\)
trên mỗi mặt phẳng sau : \(mp(Oxy), mp(Oxz), mp(Oyz),\)
\(mp\left( \alpha  \right):x + y + z - 7 = 0.\)
Giải chi tiết:
Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là
\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)
\(* \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxz) là
\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z = 3 + t. \hfill \cr}  \right.\)
\(* \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oyz) là
\(\left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 3 + t. \hfill \cr}  \right.\)
\(* \) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên \(mp\left( \alpha  \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), trong đó \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}}  = (2; 3; 1),\) vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (1; 1; 1).\) Vậy vec tơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) là :
\(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = \left( {\left| \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|} \right) \)
\(= (2; - 1; - 1).\)
Điểm \({M_0}\left( {1; - 2; 3} \right)\) thuộc d và cũng thuộc \((\beta)\), do đó phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là:
\(\eqalign{
& 2\left({x - 1} \right) - 1\left({y + 2} \right) - 1\left({z - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2x - y - z - 1 = 0 \cr} \)
Vậy hình chiếu của d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\beta)\) và \((\alpha)\) có phương trình lần lượt là: \(x+y+z-7=0\) và \(2x-y-z-1=0\).
Suy ra phương trình tham số của d là:
\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr 
y = {{13} \over 3} - t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\)

Câu b​

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{  x = {7 \over 2} + 3t \hfill \cr  y =  - 2t \hfill \cr  z =  - 2t \hfill \cr}  \right.\)
Trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 2z - 2 = 0.\)
Giải chi tiết:
Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \((\alpha)\) thì \((\beta)\) có phương trình là:
\((\beta):2x + y + 2z - 7 = 0\)
Khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của \((\alpha):x+2y-2z-2=0\) và \((\beta):2x + y + 2z - 7 = 0\).
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d là:
\({{x - 4} \over 2} = {{y + 1} \over { - 2}} = {z \over { - 1}}\)