Google
Câu hỏi:
Giải chi tiết:
Điểm M(x; y ; z) cách đều ba điểm A, B, C khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{ M{A^2} = M{B^2} \hfill \cr M{A^2} = M{C^2} \hfill \cr} \right.\)
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-2)^{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-4 x+2 y-2 z-2=0 \\ 2 x-8 y+2 z-14=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z+1=0 \\ x-4 y+z-7=0\end{array}\right.\right.$
Vậy tập hợp điểm M(x; y; z) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình (1) và (2). Đường thẳng đó có phương trình là:
\(\left\{ \matrix{ x = - 8 - 3t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 15 + 7t \hfill \cr} \right.\)
Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải chi tiết:
Xét điểm M(x; y ; z). Khi đó khoảng cách dx từ M tới trục Ox là
\({d_x} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \sqrt {{y^2} + {z^2}} .\)
khoảng cách dy từ M tới trục Oy là
\({d_y} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow j } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} .\)
Mặt khác \(MA = \sqrt {{{(x - {\rm{ 1}})}^2} + {\rm{ }}{{\left({y{\rm{ }} - {\rm{ 1}}} \right)}^2} + {\rm{ }}{z^2}.} \)
Vậy M là một điểm của quỹ tích khi
\(\left\{ \matrix{ {y^2} + {z^2} = {x^2} + {z^2} \hfill \cr {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y) + 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {y^2} (1) \hfill \cr {x^2} - 2(x + y) + 2 = 0. (2) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) suy ra x = y hoặc x = -y.
Khi x = y, phương trình (2) có dạng: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 .\)
Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm (x; y; z) mà:
\(\left\{ \matrix{ x = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) (3) và \(\left\{ \matrix{ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) (4)
Khi \(x = - y\), phương trình (2) trở thành: \({x^2} + 2 = 0\). Điều này không xảy ra.
Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình (3) và (4)
Câu a
Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0), C(2;-3; 2).Giải chi tiết:
Điểm M(x; y ; z) cách đều ba điểm A, B, C khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{ M{A^2} = M{B^2} \hfill \cr M{A^2} = M{C^2} \hfill \cr} \right.\)
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-2)^{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-4 x+2 y-2 z-2=0 \\ 2 x-8 y+2 z-14=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z+1=0 \\ x-4 y+z-7=0\end{array}\right.\right.$
Vậy tập hợp điểm M(x; y; z) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình (1) và (2). Đường thẳng đó có phương trình là:
\(\left\{ \matrix{ x = - 8 - 3t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 15 + 7t \hfill \cr} \right.\)
Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu b
Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A(1; 1; 0).Giải chi tiết:
Xét điểm M(x; y ; z). Khi đó khoảng cách dx từ M tới trục Ox là
\({d_x} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \sqrt {{y^2} + {z^2}} .\)
khoảng cách dy từ M tới trục Oy là
\({d_y} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow j } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} .\)
Mặt khác \(MA = \sqrt {{{(x - {\rm{ 1}})}^2} + {\rm{ }}{{\left({y{\rm{ }} - {\rm{ 1}}} \right)}^2} + {\rm{ }}{z^2}.} \)
Vậy M là một điểm của quỹ tích khi
\(\left\{ \matrix{ {y^2} + {z^2} = {x^2} + {z^2} \hfill \cr {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y) + 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {y^2} (1) \hfill \cr {x^2} - 2(x + y) + 2 = 0. (2) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) suy ra x = y hoặc x = -y.
Khi x = y, phương trình (2) có dạng: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 .\)
Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm (x; y; z) mà:
\(\left\{ \matrix{ x = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) (3) và \(\left\{ \matrix{ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) (4)
Khi \(x = - y\), phương trình (2) trở thành: \({x^2} + 2 = 0\). Điều này không xảy ra.
Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình (3) và (4)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!