Bài 7 trang 10 SGK Đại số 10

Câu hỏi:

Câu a​

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.
\(∀n ∈ \mathbb N\): \(n\) chia hết cho \(n\);
Phương pháp giải:
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với  \(x\in X\) . Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\exists x\in X:P\left( x \right)\) là: \(\forall x\in X:\overline{P\left( x \right)}\)
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với \(x\in X\). Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\forall x\in X:P\left( x \right)\) là: \(\exists x\in X:\overline{P\left( x \right)}\)
Lời giải chi tiết:
P: \(∀n ∈ \mathbb N\): \(n\) chia hết cho \(n\)
\(\overline P \): \(\exists n \in \mathbb N:n\) không chia hết cho \(n\).
Mệnh đề này đúng vì tồn tại số \(n=0 ∈ \mathbb N\) mà \(0\) không chia được cho \(0\)

Câu b​

\(∃x ∈ \mathbb Q\): \(x^2=2\);
Lời giải chi tiết:
P: \(∃x ∈ \mathbb Q\): \(x^2=2\)
\(\overline P \):\(\forall x \in Q:{x^2} \ne 2\)
Phát biểu bằng lời: "Bình phương của mọi số hữu tỉ đều là một số khác \(2\)".
Mệnh đề này đúng vì chỉ có hai số thực có bình phương bằng 2 đó là \( \pm \sqrt 2 \). Tuy nhiên hai số này lại là số vô tỉ chứ không phải số hữu tỉ.
Vậy mọi số hữu tỉ thì đều có bình phương khác 2.

Câu c​

\(∀x ∈ \mathbb R\): \(x< x+1\);
Lời giải chi tiết:
P: \(∀x ∈ \mathbb R\): \(x< x+1\)
\(\overline P \):\(∃x ∈ \mathbb R: x≥x+1\)
Phát biểu bằng lời: "Tồn tại số thực \(x\) không nhỏ hơn số ấy cộng với \(1\)".
Mệnh đề này sai vì x+1 luôn lớn hơn x với mọi x.

Câu d​

\(∃x ∈ \mathbb R: 3x=x^2+1\);
Lời giải chi tiết:
P: \(∃x ∈ \mathbb R: 3x=x^2+1\)
\(\overline P \): \(  ∀x ∈\mathbb R: 3x ≠ x^2+1\)
Phát biểu bằng lời: "Tổng của \(1\) với bình phương của số thực \(x\) luôn luôn không bằng \(3\) lần số \(x\)"
Đây là mệnh đề sai vì:
Giải phương trình:
\(\begin{array}{l}
3x = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\\
\Delta = {3^2} - 4.1 = 5 > 0\\
\Rightarrow {x_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)
Do đó với \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}2{}\) ta có:
\(3. \left (\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2} \right)\)=\(\left (\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2} \right)^{2}+1\).