Bài 65 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Câu a​

|x2​ – 5x + 4| = x2​ + 6x + 5
Phương pháp giải:
Sử dụng biến đổi tương đương
\(\left| f \right| = g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
f = g\\
f = - g
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Hoặc phá dấu GTTĐ dựa vào điều kiện của f.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
x2​+ 6x + 5 ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 5 \hfill \cr
x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 11x = 1 \hfill \cr
2{x^2} + x + 9 = 0(VN) \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \)
Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy \(S = {\rm{\{ - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)
Cách khác:
a) Ta có:
+) TH1: Nếu \({x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 1\end{array} \right.\) thì \(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} - 5x + 4\).
Khi đó pt tương đương:
x2​-5x + 4=x2​ + 6x + 5
⇒11x=-1 ⇒x=-1/11 (thỏa mãn)
Trường hợp 1: nếu x∈(-∞; 1]∪[4; + ∞) thì phương trình đã cho tương đương với phương trình:
+) TH2: Nếu \({x^2} - 5x + 4 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4\) thì \(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = - {x^2} + 5x - 4\)
Khi đó phương trình đã cho tương đương
-x2​ + 5x-4=x2​ + 6x + 5
⇒2x2​ + x + 9=0 (vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho T={-1/11}

Câu b​

|x – 1| = 2x – 1
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Ta có:
\(|x - 1| = 2x - 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr
x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 (KTM)\hfill \cr
x = {2 \over 3} (TM)\hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\).
Cách khác:
* Trường hợp 1:
Nếu $x \geq 1 \Leftrightarrow x-1 \geq 0$ thì phương trình đã cho trở thành:
$x-1=2 x-1 \Leftrightarrow-x=0$
$\Leftrightarrow \mathrm{x}=0$ ( không thỏa mãn điều kiện $x \geq 1)$
* Trường hợp 2:
Nếu $\mathrm{x}<1 \Leftrightarrow \mathrm{x}-1<0$ thì phương trình đã cho trở thành:
$-x+1=2 x-1 \Leftrightarrow-3 x=-2$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}($ thỏa mãn điều kiện $\mathrm{x}<1)$
Kết hợp hai trường hợp, vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=\frac{2}{3}$.

Câu c​

|-x2​ + x – 1| ≤ 2x + 5
Phương pháp giải:
Phá dấu GTTĐ và giải bpt.
Lời giải chi tiết:
Vì -x2​ + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R (do a= -1 < 0 và \(\Delta = 1 - 4 = - 3 < 0\)) nên \(\left| { - {x^2} + x - 1} \right| = {x^2} - x + 1\).
Khi đó:
|-x2​ + x – 1| ≤ 2x + 5
⇔ x2​ – x + 1 ≤ 2x + 5
⇔ x2​ – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4
Vậy S = [-1,4]

Câu d​

|x2​ – x| ≤ |x2​ – 1|
Phương pháp giải:
Bình phương hai vế \(\left| f \right| \le \left| g \right| \Leftrightarrow {f^2} \le {g^2} \) \(\Leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left({f + g} \right) \le 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
|x2​ – x| ≤ |x2​ – 1| \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - x} \right)^2} \le {\left({{x^2} - 1} \right)^2}\)
⇔ (x2​ – x)2​ – (x2​ – 1)2​ ≤ 0
\(\Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - {x^2} + 1} \right)\left({{x^2} - x + {x^2} - 1} \right) \le 0\)
⇔ (1 – x)(2x2​ – x – 1) ≤ 0
\(\Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right)\left({x - 1} \right)\left({2x + 1} \right) \le 0\)
⇔ (x – 1)2​(2x + 1) ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\)
Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty)\)