Bài 69 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải các phương trình và bất phương trình sau

Câu a​

\(|{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}| = 2\)
Phương pháp giải:
Giải phương trình
\(\left| f \right| = a\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = a\\
f = - a
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ - 1
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}| = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2\left({x + 1} \right)\\
{x^2} - 2 = - 2\left({x + 1} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2x + 2\\
{x^2} - 2 = - 2x - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
{x^2} + 2x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \sqrt 5 \\
x = 0, x = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5; 0; 2\} \)

Câu b​

\(|{{3x + 4} \over {x - 2}}| \le 3\)
Phương pháp giải:
Nhân chéo và bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 2
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x - 2}}| \le 3 \Leftrightarrow |3x + 4| \le 3|x - 2| \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left({3x + 4} \right)^2} \le 9{\left({x - 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 9{x^2} + 24x + 16 \le 9{x^2} - 36x + 36\\
\Leftrightarrow 60x - 20 \le 0\\
\Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}
\end{array}\)
Vậy \(S = ( - \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\).
Cách khác:
Điều kiện xác định: $x \neq 2$
Ta có:
$\left|\frac{3 x+4}{x-2}\right| \leq 3 \Leftrightarrow\left(\frac{3 x+4}{x-2}\right)^{2} \leq 3^{2}$
$\Leftrightarrow\left(\frac{3 x+4}{x-2}\right)^{2}-3^{2} \leq 0$
$\Leftrightarrow\left(\frac{3 x+4}{x-2}-3\right) \cdot\left(\frac{3 x+4}{x-2}+3\right) \leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{3 x+4-3(x-2)}{x-2} \cdot \frac{3 x+4+3(x-2)}{x-2} \leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{10}{x-2} \cdot \frac{6 x-2}{x-2} \leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{10(6 x-2)}{(x-2)^{2}} \leq 0 ;(*)$
Ta có: $(\mathrm{x}-2)^{2}>0$ với mọi $x \neq 2$ và $10>0$
Bất phương trình ( $^{*}$ ) trở thành:
$
\begin{array}{l}
6 x-2 \leq 0 \Leftrightarrow 6 x \leq 2 \\
\Leftrightarrow x \leq \frac{1}{3}
\end{array}
$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
$
D=\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right]
$

Câu c​

\(|{{2x - 3} \over {x - 3}}| \ge 1\)
Phương pháp giải:
Nhân chéo và bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 3
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{2x - 3} \over {x - 3}}| \ge 1 \Leftrightarrow |2x - 3| \ge |x - 3| \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left({2x - 3} \right)^2} \ge {\left({x - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 \ge {x^2} - 6x + 9\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết hợp \(x\ne 3\) ta được tập nghiệm \(S = (-∞, 0] ∪ [2,3) ∪ (3, +∞)\).

Câu d​

\(|2x + 3| = |4 – 3x|\)
Phương pháp giải:
Phương trình
\(\left| f \right| = \left| g \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = g\\
f = - g
\end{array} \right.\)
Hoặc \(\left| f \right| = \left| g \right| \Leftrightarrow {f^2} = {g^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|2x + 3| = |4 - 3x|\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 - 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x - 4 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = 1\\
- x = - 7
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5}, 7\} \).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\left| {2x + 3} \right| = \left| {4 - 3x} \right|\\
\Leftrightarrow {\left({2x + 3} \right)^2} = {\left({4 - 3x} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 9 = 16 - 24x + 9{x^2}\\
\Leftrightarrow - 5{x^2} + 36x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{5}\\
x = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)